Estremo superiore

[rbtqwt]

Buon giorno, avrei un piccolo dubbio sull'estremo superiore.

Mi è stata data come definizione di estremo superiore la seguente: dicesi estremo superiore di un insieme \( \displaystyle {E}\subset{X} \) superiormente limitato il minimo dei maggioranti di \( \displaystyle {E} \), definendo maggiorante di \( \displaystyle {E} \) quel numero \( \displaystyle \alpha\in{X}:\forall{x}\in{E},{x}\leq\alpha \).

Considerando l'insieme \( \displaystyle {E}={\left\lbrace{p}\in{\mathbb{{{Q}}}}:{p}\gt{0}\wedge{{p}}^{{2}}\lt{3}\right\rbrace} \) come sottoinsieme di \( \displaystyle {\mathbb{{{Q}}}} \), \( \displaystyle {E} \) non ammette estremo superiore poiché la classe dei maggioranti di \( \displaystyle {E} \) non ha minimo. Considerando invece \( \displaystyle {E} \) come sottoinsieme di \( \displaystyle {\mathbb{{{R}}}} \), essendo \( \displaystyle {E} \) superiormente limitato e avendo \( \displaystyle {\mathbb{{{R}}}} \) la proprietà dell'estremo superiore (ossia \( \displaystyle {\mathbb{{{R}}}} \) è campo completo), \( \displaystyle {E} \) deve ammettere estremo superiore.
Qualora mi venga chiesto di determinare l'estremo superiore di un insieme \( \displaystyle {E} \) costituito da elementi di \( \displaystyle {\mathbb{{{Q}}}} \), senza specificare se \( \displaystyle {E} \) sia da considerare come sottoinsieme di \( \displaystyle {\mathbb{{{Q}}}} \) o di \( \displaystyle {\mathbb{{{R}}}} \), che risposta devo dare nel caso in cui la classe dei maggioranti di \( \displaystyle {E} \) (considerando \( \displaystyle {E} \) sottoinsieme di \( \displaystyle {\mathbb{{{Q}}}} \)) non abbia minimo? E' necessario specificare rispetto a quale insieme considero l'estremo superiore?
Grazie!

[codino75]

chiedi al professore chiarimenti in casi dubbi.....

[matths87]

E' necessario specificare rispetto a quale insieme considero l'estremo superiore?

Direi proprio di sì: se prendi gli insiemi \( \displaystyle {\left\lbrace{x}\in{\mathbb{{{Z}}}}:{{x}}^{{2}}\lt{2}\right\rbrace} \) e \( \displaystyle {\left\lbrace{x}\in{\mathbb{{{R}}}}:{{x}}^{{2}}\lt{2}\right\rbrace} \), vedi immediatamente che sono diversi, anche se la definizione è la medesima; cambia soltanto l'insieme di riferimento.