\( \displaystyle \exists{a},{b}\in\mathbb{N} \) con \( \displaystyle {b}\gt{2} \) tali che \( \displaystyle {{2}}^{{b}}-{1}{\mid}{{2}}^{{a}}+{1} \)?

[Mistral]

Come da oggetto dimostrare se la proposizione sotto è vera o falsa.

\( \displaystyle \exists{a},{b}\in\mathbb{N} \) con \( \displaystyle {b}\gt{2} \) tali che \( \displaystyle {{2}}^{{b}}-{1}{\mid}{{2}}^{{a}}+{1} \)

Posto la soluzione su richiesta condivisa.

Saluti

Mistral

PS \( \displaystyle {c}{\mid}{d} \) vuol dire che \( \displaystyle {c} \) divide \( \displaystyle {d} \).

[Pachito]

b=7, a=1

[Mistral]

b=7, a=1

cioè \( \displaystyle {{2}}^{{7}}-{1}={127} \) divide \( \displaystyle {2}+{1}={3} \)?

Mi sembra non funzioni.

[Pachito]

Oops!
Ehmm... 127/3... beh non viene proprio un numero intero, ma se ci si accontenta...
No eh?
Allora facciamo
b=8
a=1 o a=2
\( \displaystyle {{2}}^{{8}}-{1}={255} \) che è divisibile per \( \displaystyle {2}+{1}={3} \) e \( \displaystyle {{2}}^{{2}}+{1}={5} \)
In generale mi sembra che
tutti i numeri del tipo \( \displaystyle {{2}}^{{{2}{n}}}-{1} \) siano divisibili per \( \displaystyle {{2}}^{{1}}+{1}={3} \)
tutti i numeri del tipo \( \displaystyle {{2}}^{{{4}{n}}}-{1} \) siano divisibili per \( \displaystyle {{2}}^{{2}}+{1}={5} \)
tutti i numeri del tipo \( \displaystyle {{2}}^{{{6}{n}}}-{1} \) siano divisibili per \( \displaystyle {{2}}^{{3}}+{1}={9} \)
....
tutti i numeri del tipo \( \displaystyle {{2}}^{{{2}{k}{n}}}-{1} \) siano divisibili per \( \displaystyle {{2}}^{{k}}+{1} \)
Qualcuno vuole dimostrarlo?

[carlo23]

Oops!
Ehmm... 127/3... beh non viene proprio un numero intero, ma se ci si accontenta...
No eh?
Allora facciamo
b=8
a=1 o a=2
\( \displaystyle {{2}}^{{8}}-{1}={255} \) che è divisibile per \( \displaystyle {2}+{1}={3} \) e \( \displaystyle {{2}}^{{2}}+{1}={5} \)
In generale mi sembra che
tutti i numeri del tipo \( \displaystyle {{2}}^{{{2}{n}}}-{1} \) siano divisibili per \( \displaystyle {{2}}^{{1}}+{1}={3} \)
tutti i numeri del tipo \( \displaystyle {{2}}^{{{4}{n}}}-{1} \) siano divisibili per \( \displaystyle {{2}}^{{2}}+{1}={5} \)
tutti i numeri del tipo \( \displaystyle {{2}}^{{{6}{n}}}-{1} \) siano divisibili per \( \displaystyle {{2}}^{{3}}+{1}={9} \)
....
tutti i numeri del tipo \( \displaystyle {{2}}^{{{2}{k}{n}}}-{1} \) siano divisibili per \( \displaystyle {{2}}^{{k}}+{1} \)
Qualcuno vuole dimostrarlo?

Basta sapere che se \( \displaystyle {d} \) divide \( \displaystyle {n} \) allora \( \displaystyle {{a}}^{{d}}-{{b}}^{{d}} \) divide \( \displaystyle {{a}}^{{n}}-{{b}}^{{n}} \).
Ne ho parlato in "Un problema simpatico" in "Giochi logico matematici e gara".

Ciao!

[Mistral]

Oops!
Ehmm... 127/3... beh non viene proprio un numero intero, ma se ci si accontenta...
No eh?
Allora facciamo
b=8
a=1 o a=2
\( \displaystyle {{2}}^{{8}}-{1}={255} \) che è divisibile per \( \displaystyle {2}+{1}={3} \) e \( \displaystyle {{2}}^{{2}}+{1}={5} \)
In generale mi sembra che
tutti i numeri del tipo \( \displaystyle {{2}}^{{{2}{n}}}-{1} \) siano divisibili per \( \displaystyle {{2}}^{{1}}+{1}={3} \)
tutti i numeri del tipo \( \displaystyle {{2}}^{{{4}{n}}}-{1} \) siano divisibili per \( \displaystyle {{2}}^{{2}}+{1}={5} \)
tutti i numeri del tipo \( \displaystyle {{2}}^{{{6}{n}}}-{1} \) siano divisibili per \( \displaystyle {{2}}^{{3}}+{1}={9} \)
....
tutti i numeri del tipo \( \displaystyle {{2}}^{{{2}{k}{n}}}-{1} \) siano divisibili per \( \displaystyle {{2}}^{{k}}+{1} \)
Qualcuno vuole dimostrarlo?

\( \displaystyle {{2}}^{{b}}-{1} \) deve dividere \( \displaystyle {{2}}^{{a}}+{1} \) e non viceversa....insomma quello con - deve dividere quello con +. Non so più come dirlo e mi faccio un pò di paranoie \( \displaystyle \frac{{{{2}}^{{a}}+{1}}}{{{{2}}^{{b}}-{1}}} \) deve essere intero per \( \displaystyle {b}\gt{2} \) !!!!

Mi sembra che il testo del problema dica questo, avevo messo il PS apposta . Forza carlo23 e tutti mi aspetto una bella soluzione !!!...del problema intendo

Saluti

Mistral

[Pachito]

Arioops!
"Cuiusvis est errare: nullius nisi insipientis, in errore perseverare"
La proposizione \( \displaystyle \exists{a},{b}\in\mathbb{N} \) con \( \displaystyle {b}\gt{2} \) tali che \( \displaystyle {{2}}^{{b}}-{1}{\mid}{{2}}^{{a}}+{1} \) è falsa.
Basta considerare la forma binaria di \( \displaystyle {{2}}^{{a}}+{1} \)=1000.....0001 (in tutto a cifre) e \( \displaystyle {{2}}^{{b}}-{1} \)=111..111 (in tutto b-1 cifre) e provare a fare la divisione.
Le divisioni parziali daranno sempre resto 1 eccetto l'ultima che sarà della forma 100...001 con un numero di cifre minori o uguali ad b-1. Quest'ultima è dunque certamente minore del divisore (cioè è un resto diverso da 0).

[Mistral]

Arioops!
"Cuiusvis est errare: nullius nisi insipientis, in errore perseverare"
La proposizione \( \displaystyle \exists{a},{b}\in\mathbb{N} \) con \( \displaystyle {b}\gt{2} \) tali che \( \displaystyle {{2}}^{{b}}-{1}{\mid}{{2}}^{{a}}+{1} \) è falsa.
Basta considerare la forma binaria di \( \displaystyle {{2}}^{{a}}+{1} \)=1000.....0001 (in tutto a cifre) e \( \displaystyle {{2}}^{{b}}-{1} \)=111..111 (in tutto b-1 cifre) e provare a fare la divisione.
Le divisioni parziali daranno sempre resto 1 eccetto l'ultima che sarà della forma 100...001 con un numero di cifre minori o uguali ad b-1. Quest'ultima è dunque certamente minore del divisore (cioè è un resto diverso da 0).

Bingo...!