f(x+y)= f(x)f(y) allora f(x-y)= f(x)/f(y)

[blackbishop13]

proprongo una possibile soluzione alla variante 4:

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\( \displaystyle {f{{\left({x}\right)}}}={{e}}^{{{g{{\left({x}\right)}}}}} \) dove g è una funzione che associa ad un numero reale \( \displaystyle {x} \) una classe di equivalenza:
\( \displaystyle {g{:}}{x}\to{\left[{x}\right]} \) e definiamo così: \( \displaystyle {y}\in{\left[{x}\right]}\Leftrightarrow{\left({x}-{y}\right)}\in\mathbb{Q} \)

devo però definire bene cosa vuol dire \( \displaystyle {{e}}^{{{\left[{x}\right]}}} \):
per ogni classe \( \displaystyle {\left[{y}\right]} \) posso scegliere un elemento rappresentante della classe stessa, chiamiamolo genericamente \( \displaystyle {r} \), e \( \displaystyle {{e}}^{{{\left[{y}\right]}}}={{e}}^{{r}} \)
quello che è difficile è pensare a questi rappresentanti, non si può, comunque così definito

allora dovrebbe rispettare la condizione (1).

[Rigel]

Scusa, ma non ho capito com'è definita la funzione \( \displaystyle {g} \).
I numeri \( \displaystyle {q}_{{1}},\ldots,{q}_{{m}} \) sono fissati una volta per tutte o dipendono da \( \displaystyle {y} \)?
O stai pensando ad una base di Hamel per \( \displaystyle \mathbb{R} \) visto come spazio vettoriale su \( \displaystyle \mathbb{Q} \)?

[blackbishop13]

Rigel ho modificato di parecchio la mia proposta, quella di prima rispecchiava l'idea ma era espressa in maniera tremenda.
adesso è più chiaro.
comunqe no, non uso basi di Hamel anche perchè ancora non le conosco, e comunque \( \displaystyle \mathbb{Q} \) non riveste una particolare importanza nella nuova proposta, mentre prima lo faceva, ed era scomodo.

[robbstark]

Propongo due soluzioni diverse alla variante 1:

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\( \displaystyle \lim_{{{h}\to{0}}}\frac{{{f{{\left({x}+{h}\right)}}}-{f{{\left({x}\right)}}}}}{{h}}=\lim_{{{h}\to{0}}}{f{{\left({x}\right)}}}\frac{{{f{{\left({h}\right)}}}-{1}}}{{h}}={f{{\left({x}\right)}}}{f}'{\left({0}\right)} \)
\( \displaystyle {f} \) è quindi derivabile in ogni punto e \( \displaystyle {f}'{\left({x}\right)}={f{{\left({x}\right)}}}{f}'{\left({0}\right)} \)
Definisco \( \displaystyle {g{{\left({x}\right)}}}={f{{\left({x}\right)}}}{{e}}^{{-{C}{x}}} \), derivabile perchè prodotto di funzioni derivabili.
\( \displaystyle {g}'{\left({x}\right)}={f}'{\left({x}\right)}{{e}}^{{-{C}{x}}}-{C}{f{{\left({x}\right)}}}{{e}}^{{-{C}{x}}}={f{{\left({x}\right)}}}{{e}}^{{-{C}{x}}}{\left({f}'{\left({0}\right)}-{C}\right)} \)
Scegliendo \( \displaystyle {C}={f}'{\left({0}\right)} \) si ha \( \displaystyle {g}'{\left({x}\right)}={0} \), per cui \( \displaystyle {g{{\left({x}\right)}}}={1} \), ovvero \( \displaystyle {f{{\left({x}\right)}}}={{e}}^{{{C}{x}}} \)

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Come nel caso precedente dimostro che \( \displaystyle {f} \) è derivabile in ogni punto. Ora considero un punto \( \displaystyle {x}_{{0}}\ne{0} \):
\( \displaystyle \exists{C}\in\mathbb{R}:{f{{\left({x}_{{0}}\right)}}}={{e}}^{{C}}{\left({x}_{{0}}\right)} \) essendo la funzione esponenziale suriettiva in \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{+} \)
Per induzione si prova che \( \displaystyle {f{{\left({n}{x}_{{0}}\right)}}}={{e}}^{{{C}{n}{x}_{{0}}}} \) e per induzione e assurdo si prova che \( \displaystyle {f{{\left(\frac{{x}_{{0}}}{{n}}\right)}}}={{e}}^{{{C}\frac{{x}_{{0}}}{{n}}}} \), \( \displaystyle \forall{n}\in\mathbb{N} \)
Da qui segue che \( \displaystyle {f{{\left(\frac{{m}}{{n}}{x}_{{0}}\right)}}}={{e}}^{{{C}\frac{{m}}{{n}}{x}_{{0}}}} \), \( \displaystyle \forall{\left({m},{n}\right)}\in{\mathbb{N}}^{{2}} \), che è equivalente a:
\( \displaystyle {f{{\left({q}{x}_{{0}}\right)}}}={{e}}^{{{C}{q}{x}_{{0}}}} \), \( \displaystyle \forall{q}\in\mathbb{Q} \)
Ma una funzione continua è unicamente identificata dai suoi valori in un insieme denso, per cui \( \displaystyle {f{{\left({x}\right)}}}={{e}}^{{{C}{x}}} \), \( \displaystyle \forall{x}\in\mathbb{R} \)

[robbstark]

Propongo una soluzione alla variante 2:

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\( \displaystyle \lim_{{{h}\to{0}}}{f{{\left({h}\right)}}}={f{{\left({0}\right)}}}={1} \)
\( \displaystyle \lim_{{{h}\to{0}}}{f{{\left({x}+{h}\right)}}}=\lim_{{{h}\to{0}}}{f{{\left({x}\right)}}}{f{{\left({h}\right)}}}={f{{\left({x}\right)}}} \) quindi \( \displaystyle {f} \) è continua in ogni punto.
Allora posso rifare il discorso del post precedente, per cui \( \displaystyle {f{{\left({q}{x}_{{0}}\right)}}}={{e}}^{{{C}{q}{x}_{{0}}}} \), \( \displaystyle \forall{q}\in\mathbb{Q} \).
Ma una funzione continua è univocamente determinata dai valori assunti in un sottinsieme denso del dominio, per cui
\( \displaystyle {f{{\left({x}\right)}}}={{e}}^{{{C}{x}}} \) \( \displaystyle \forall{x}\in\mathbb{R} \)

[Mathematico]

Sia \( \displaystyle {f{:}}\mathbb{R}\to\mathbb{R}_{+} \) come nel post iniziale, vale a dire soddisfacente
(1) \( \displaystyle {f{{\left({x}+{y}\right)}}}={f{{\left({x}\right)}}}{f{{\left({y}\right)}}} \) per ogni \( \displaystyle {x},{y}\in\mathbb{R} \).

Variante 2 (un po' più difficile): dimostrare che (2) vale anche se si suppone \( \displaystyle {f} \) solo continua nell'origine.

Ultima osservazione: si può formulare un analogo problema per le funzioni \( \displaystyle {F}:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \) soddisfacenti \( \displaystyle {F}{\left({x}+{y}\right)}={F}{\left({x}\right)}+{F}{\left({y}\right)} \) per ogni \( \displaystyle {x},{y}\in\mathbb{R} \) (si può passare da un problema all'altro prendendo \( \displaystyle {F}{\left({x}\right)}={\log{{f{{\left({x}\right)}}}}} \)).

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Sono tremendamente vagabondo , risolvo il punto 2 con l'hint.
Per ipotesi \( \displaystyle f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}^+ \) , pertanto la funzione assume valori positivi per ogni \( \displaystyle x\in\mathbb{R} \) , inoltre, ponendo
\( \displaystyle h(x):=\log(f(x)), \text{ con } x\in\mathbb{R} \) scopriamo che:
\( \displaystyle h(x+y)=\log(f(x+y))= \)
\( \displaystyle = \log(f(x)f(y))= \log(f(x))+\log(f(y))= h(x)+h(y) \) , dunque \( \displaystyle h \) gode della proprietà additiva!.
Notiamo inoltre che poichè \( \displaystyle f \) è continua in zero allora lo sarà anche la funzione \( \displaystyle h \) , ed essendo questa additiva, allora sarà continua in ogni punto del dominio.
Poichè \( \displaystyle h \) è continua nel dominio allora \( \displaystyle h(x+y)= h(x)+h(y) \) è soddisfatta dalla sola funzione \( \displaystyle \alpha x\text{ con } \alpha\in\mathbb{R} \) pertanto:
\( \displaystyle h(x)= \alpha x \implies f(x) = e^{\alpha x} \) . La famiglia di funzioni continue che soddisfa la condizione è \( \displaystyle S:=\left\{f\in \mathcal{C}(\mathbb{R})| f(x)= a^x, a\in (0, +\infty)\right\} \)

L'esercizio 3 lo trovo ostico

[dissonance]

Segnalo questo link
http://www.matematicamente.it/forum/inc ... 40489.html

[robbstark]

Propongo una soluzione alla variante 4:

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Definisco in \( \displaystyle \mathbb{R}-{\left\lbrace{0}\right\rbrace} \) la relazione d'equivalenza: \( \displaystyle {x}{R}{y} \) se \( \displaystyle \frac{{x}}{{y}}\in\mathbb{Q} \)
Ciascuna classe di equivalenza è composta da un'infinità numerabile di elementi, infatti fissando \( \displaystyle {y} \) si mette in corrispondenza biunivoca \( \displaystyle {x} \) con \( \displaystyle \mathbb{Q} \).
Le classi di equivalenza sono allora più che numerabili, poichè \( \displaystyle \mathbb{R} \) è più che numerabile e l'unione finita o numerabile di insiemi numerabili è numerabile. Ciò è vero anche se si definisce la relazione d'equivalenza in un intervallo, eventualmente bucato per escludere lo \( \displaystyle {0} \).
In ognuna di queste classi si ha \( \displaystyle {f}{\mid}{c}{l}{a}{s}{s}{e}{p}{\left({x}\right)}={{e}}^{{{C}_{{p}}{x}}} \), come dimostrato nei post precedenti. Ogni intervallo contiene elementi di tutte le classi, per quanto già detto. Pertanto è chiaro che la funzione è discontinua in ogni punto \( \displaystyle {x}\ne{0} \). Per non cadere in assurdi la funzione deve risultare discontinua anche in \( \displaystyle {x}={0} \). A tal fine è sufficiente che \( \displaystyle {\left\lbrace{C}_{{p}}\right\rbrace} \) non sia limitato superiormente, di modo che la funzione \( \displaystyle {f} \) sia non limitata in qualsiasi intorno destro di \( \displaystyle {x}={1} \).

[Rigel]

Per la Variante 3 potete consultare il post segnalato da dissonance, e in particolare
http://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~ssaito ... Cauchy.pdf
(Chiedo scusa ma non ho usato la funzione "Cerca" prima di postare...)

La dimostrazione delle varianti 1 e 2 di robbstark mi sembra corretta; la dimostrazione di mathematico è incompleta (ma può essere completata ragionando come ha fatto robbstark).
La soluzione della variante 4 proposta di robbstark è sostanzialmente corretta; si possono trovare ulteriori dettagli qui:
http://www.cofault.com/2010/01/hunt-for ... nster.html

[hee136]

Ciao a tutti
Vorrei proporre un esercizio davvero molto semplice, dedicato soprattutto a chi sta preparando analisi 1 o al più analisi 2, possono partecipare anche i ragazzi delle superiori .

Sia \( \displaystyle f: (\mathbb{R}, +)\to (\mathbb{R^+}, *) \) tale che per ogni \( \displaystyle x, y \in (\mathbb{R}, +) \) si ha che:
\( \displaystyle f(x+y)= f(x)f(y) \)
Dimostrare che \( \displaystyle \forall x, y \in \mathbb{R} \) si ha che:
\( \displaystyle \displaystyle f(x-y)= \frac{f(x)}{f(y)} \)

Dare un esempio di funzione continua che rispetti queste proprietà (a dire il vero esiste una famiglia di funzioni continue che godono di queste proprietà ). Buon divertimento

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\( \displaystyle f(x+y)= f(x)f(y) \)

Cambio di variabile: a=x+y

\( \displaystyle f(a)= f(x)f(a-x) \)

\( \displaystyle f(a) / f(x)= f(a-x) \)

Cambio i nomi delle variabili

\( \displaystyle f(x) / f(y)= f(x-y) \)