f(x+y)= f(x)f(y) allora f(x-y)= f(x)/f(y)

[Mathematico]

Ciao a tutti
Vorrei proporre un esercizio davvero molto semplice, dedicato soprattutto a chi sta preparando analisi 1 o al più analisi 2, possono partecipare anche i ragazzi delle superiori .

Sia \( \displaystyle f: (\mathbb{R}, +)\to (\mathbb{R^+}, *) \) tale che per ogni \( \displaystyle x, y \in (\mathbb{R}, +) \) si ha che:
\( \displaystyle f(x+y)= f(x)f(y) \)
Dimostrare che \( \displaystyle \forall x, y \in \mathbb{R} \) si ha che:
\( \displaystyle \displaystyle f(x-y)= \frac{f(x)}{f(y)} \)

Dare un esempio di funzione continua che rispetti queste proprietà (a dire il vero esiste una famiglia di funzioni continue che godono di queste proprietà ). Buon divertimento

[Gi8]

L'esponenziale

\( \displaystyle {f{{\left({x}\right)}}}={{e}}^{{x}} \)

[Mathematico]

L'esponenziale

\( \displaystyle {f{{\left({x}\right)}}}={{e}}^{{x}} \)

Perfetto , è proprio l'esponenziale

[Zkeggia]

Nelle ipotesi ho la continuità della funzione?

[Mathematico]

No, non è necessaria . Però se hai trovato una soluzione che ne richieda l'uso, postala pure, è comunque interessante e istruttivo

[Zkeggia]

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Se la funzione è continua almeno nell'origine, allora dico che, per le x per cui \( \displaystyle {f{{\left({x}\right)}}}\ne{0} \) (ne esiste almeno una in quanto altrimenti la funzione sarebbe la funzione nulla ovunque e non avrebbe senso scrivere \( \displaystyle \frac{{f{{\left({x}\right)}}}}{{f{{\left({y}\right)}}}} \) )
\( \displaystyle {f{{\left({x}+{\left(-{x}\right)}\right)}}}={f{{\left({0}\right)}}}={f{{\left({x}\right)}}}\cdot{f{{\left(-{x}\right)}}}\to{f{{\left(-{x}\right)}}}=\frac{{{f{{\left({0}\right)}}}}}{{{f{{\left({x}\right)}}}}} \)

Devo dimostrare che \( \displaystyle {f{{\left({0}\right)}}}={1} \), per farlo uso la continuità della funzione in 0:

\( \displaystyle {f{{\left({0}\right)}}}=\lim_{{{x}\to{0}}}{f{{\left({0}+{x}\right)}}}={f{{\left({0}\right)}}}\cdot\lim_{{{x}\to{0}}}{f{{\left({x}\right)}}}={{f{{\left({0}\right)}}}}^{{2}}\to{f{{\left({0}\right)}}}={1} \) oppure \( \displaystyle {f{{\left({0}\right)}}}={0} \). Quest'ultimo caso è da scartare perché se
\( \displaystyle {f{{\left({0}\right)}}}={0}\to{f{{\left({x}-{x}\right)}}}={f{{\left({x}\right)}}}\cdot{f{{\left(-{x}\right)}}}={0} \) per ogni x, e la funzione è di nuovo la funzione nulla.

Quindi ho dimostrato che \( \displaystyle {f{{\left({0}\right)}}}={1} \) e da qui \( \displaystyle {f{{\left(-{x}\right)}}}=\frac{{1}}{{f{{\left({x}\right)}}}} \) dunque
\( \displaystyle {f{{\left({x}-{y}\right)}}}={f{{\left({x}\right)}}}\cdot{f{{\left(-{y}\right)}}}=\frac{{{f{{\left({x}\right)}}}}}{{{f{{\left({y}\right)}}}}} \)

Sto pensando a come concludere nel caso che la funzione non sia continua... forse proprio per come è fatta non può non essere continua, ma devo dimostrarlo

[Mathematico]

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Se la funzione è continua almeno nell'origine, allora dico che, per le x per cui \( \displaystyle {f{{\left({x}\right)}}}\ne{0} \) (ne esiste almeno una in quanto altrimenti la funzione sarebbe la funzione nulla ovunque e non avrebbe senso scrivere \( \displaystyle \frac{{f{{\left({x}\right)}}}}{{f{{\left({y}\right)}}}} \) )
\( \displaystyle {f{{\left({x}+{\left(-{x}\right)}\right)}}}={f{{\left({0}\right)}}}={f{{\left({x}\right)}}}\cdot{f{{\left(-{x}\right)}}}\to{f{{\left(-{x}\right)}}}=\frac{{{f{{\left({0}\right)}}}}}{{{f{{\left({x}\right)}}}}} \)

Devo dimostrare che \( \displaystyle {f{{\left({0}\right)}}}={1} \), per farlo uso la continuità della funzione in 0:

\( \displaystyle {f{{\left({0}\right)}}}=\lim_{{{x}\to{0}}}{f{{\left({0}+{x}\right)}}}={f{{\left({0}\right)}}}\cdot\lim_{{{x}\to{0}}}{f{{\left({x}\right)}}}={{f{{\left({0}\right)}}}}^{{2}}\to{f{{\left({0}\right)}}}={1} \) oppure \( \displaystyle {f{{\left({0}\right)}}}={0} \). Quest'ultimo caso è da scartare perché se
\( \displaystyle {f{{\left({0}\right)}}}={0}\to{f{{\left({x}-{x}\right)}}}={f{{\left({x}\right)}}}\cdot{f{{\left(-{x}\right)}}}={0} \) per ogni x, e la funzione è di nuovo la funzione nulla.

Quindi ho dimostrato che \( \displaystyle {f{{\left({0}\right)}}}={1} \) e da qui \( \displaystyle {f{{\left(-{x}\right)}}}=\frac{{1}}{{f{{\left({x}\right)}}}} \) dunque
\( \displaystyle {f{{\left({x}-{y}\right)}}}={f{{\left({x}\right)}}}\cdot{f{{\left(-{y}\right)}}}=\frac{{{f{{\left({x}\right)}}}}}{{{f{{\left({y}\right)}}}}} \)

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

C'è un passaggio superfluo, per ipotesi hai che la funzione non può assumere il valore 0 in quanto l'immagine di \( \displaystyle f \) è \( \displaystyle (0,+\infty)= \mathbb{R^+} \) , ma mi assumo la colpa perchè la notazione \( \displaystyle \mathbb{R^+} \) è soggetta ad interpretazioni . Inoltre senza tirare in ballo la continutà:

\( \displaystyle f(x)= f(x+0)= f(x)f(0)\implies f(0)= \frac{f(x)}{f(x)} = 1 \) , è necessario notare che \( \displaystyle f(x)\ne 0\quad\forall x\in \mathbb{R} \) , proprio per il fatto che la funzione è a valori in \( \displaystyle \mathbb{R^+} \)

[Zkeggia]

ah già non ci avevo pensato via bell'esercizio!

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Bello perché si dimostra che \( \displaystyle {{e}}^{{0}}={1} \) senza fare conti

[Mathematico]

Sì anch'io penso sia bellino
L'ho trovato tra i miei appunti di analisi 1 ed ho pensato di postarlo. Grazie per essere intervenuti e soprattutto complimenti

[Rigel]

Visto che siamo in argomento, propongo alcune varianti.

Sia \( \displaystyle {f{:}}\mathbb{R}\to\mathbb{R}_{+} \) come nel post iniziale, vale a dire soddisfacente
(1) \( \displaystyle {f{{\left({x}+{y}\right)}}}={f{{\left({x}\right)}}}{f{{\left({y}\right)}}} \) per ogni \( \displaystyle {x},{y}\in\mathbb{R} \).

Variante 1 (facile): dimostrare che, se \( \displaystyle {f} \) è derivabile nell'origine, allora
(2) esiste \( \displaystyle {C}\in\mathbb{R} \) tale che \( \displaystyle {f{{\left({x}\right)}}}={{e}}^{{{C}{x}}} \) per ogni \( \displaystyle {x}\in\mathbb{R} \)

Variante 2 (un po' più difficile): dimostrare che (2) vale anche se si suppone \( \displaystyle {f} \) solo continua nell'origine.

Variante 3 (molto difficile): dimostrare che (2) vale anche se si suppone \( \displaystyle {f} \) solo misurabile.

Variante 4 (molto difficile): dimostrare che esistono funzioni soddisfacenti (1) che sono discontinue in ogni punto.


Per le Varianti 1 e 2 bastano le conoscenze di Analisi I; inoltre, l'ipotesi di regolarità nell'origine può essere sostituita dall'analoga ipotesi in qualsiasi altro punto.
Per le Varianti 3 e 4 sono richieste invece conoscenze di Analisi Reale.

Ultima osservazione: si può formulare un analogo problema per le funzioni \( \displaystyle {F}:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \) soddisfacenti \( \displaystyle {F}{\left({x}+{y}\right)}={F}{\left({x}\right)}+{F}{\left({y}\right)} \) per ogni \( \displaystyle {x},{y}\in\mathbb{R} \) (si può passare da un problema all'altro prendendo \( \displaystyle {F}{\left({x}\right)}={\log{{f{{\left({x}\right)}}}}} \)).