fattoriale di numero razionale

[raffamaiden]

Salve,

devo calcolare il limite $ lim_(x -> 0) (e^((x^2)/3)-1)/(((1+2x)^(1/3))-1) $ usando gli sviluppi di McLaurin delle funzioni (richiesto esplicitamente nel testo dell'esercizio).

Ora per sviluppare la radice cubica del denominatore dovrei usare la formula $ (1+x)^a = sum_(k = 0)^(k = n) ( ( a ),( k ) ) x^k + o(x^n) $ così come indicato anche qui.

Il problema è che nel mio caso $ a=1/3 $ e quindi il coefficente binomiale verrebbe $ ((1/3)!) / (k! (1/3 - k)!) $. Come posso fare per calcolare $(1/3)!$ ? Nel link che ho postato sopra lo calcola ma non so come .... noi il fattoriale lo abbiamo definito solo per i numeri naturali. Cercando su wikipedia ho trovato una certa funzione gamma che non capisco e non abbiamo trattato e sembrerebbe appartenere all'analisi complessa. Come posso calcolare quel limite con gli sviluppi di McLaurin? E come fa l'autore del link a calcolare il coefficente binomiale con termini razionali?

EDIT: Avevo sbagliato a copiare la funzione

[gugo82]

Infatti dell coefficiente binomiale con indice in alto non naturale si dà un'altra definizione...

Per definizione si pone:

\( \displaystyle \binom{\alpha}{k} := \frac{1}{k!} \prod_{h=0}^{k-1} (\alpha -h)=\frac{1}{n!}\ \alpha (\alpha -1) (\alpha -2)\dots (\alpha -k+1) \) ;

evidentemente, se \( \displaystyle \alpha =n \in \mathbb{N} \) allora il coefficiente appena definito risulta uguale a quello definito in precedenza.

Ad ogni modo, controlla sul tuo libro di testo, ché questa definizione deve esserci.

[raffamaiden]

Infatti dell coefficiente binomiale con indice in alto non naturale si dà un'altra definizione...

Per definizione si pone:

\( \displaystyle \binom{\alpha}{k} := \frac{1}{k!} \prod_{h=0}^{k-1} (\alpha -h)=\frac{1}{n!}\ \alpha (\alpha -1) (\alpha -2)\dots (\alpha -k+1) \) ;

evidentemente, se \( \displaystyle \alpha =n \in \mathbb{N} \) allora il coefficiente appena definito risulta uguale a quello definito in precedenza.

Ad ogni modo, controlla sul tuo libro di testo, ché questa definizione deve esserci.

Ok ci sono riuscito .... cmq ho notato che è la stessa della definizione "normale" ma semplificata ....... ti ringrazio