fattoriale di un numero decimale

[blackdie]

Come si calcola il fattoriale di un numero decimale?

e specialmente perchè \( \displaystyle {\left(\frac{{1}}{{2}}\right)}!=\frac{\sqrt{{\pi}}}{{2}} \)?

[Nidhogg]

Come si calcola il fattoriale di un numero decimale?

e specialmente perchè \( \displaystyle {\left(\frac{{1}}{{2}}\right)}!=\frac{\sqrt{{\pi}}}{{2}} \)?

Ne abbiamo già parlato nel topic "Prepararsi ad Analisi I...".

Comunque il fattoriale di un numero non naturale si utilizza la funzione Gamma di Eulero.

[blackdie]

si ma non ho capito....se qualche buona'anima me lo spiega...e che pecularita ha la funzione \( \displaystyle \Gamma{\left({n}+{1}\right)}={n}! \) oltre a questa?

[Nidhogg]

si ma non ho capito....se qualche buona'anima me lo spiega...e che pecularita ha la funzione \( \displaystyle \Gamma{\left({n}+{1}\right)}={n}! \) oltre a questa?

Veramente questa vale soltanto per tutti i numeri naturali. Non capisco cosa intendi con peculiarità...

[blackdie]

cioè perche con questa funzione si puo estendere a tutti i numeri non naturali il fattoriale?non deriva essa stessa dal fattoriale?

[Nidhogg]

cioè perche con questa funzione si puo estendere a tutti i numeri non naturali il fattoriale?non deriva essa stessa dal fattoriale?

La funzione Gamma di Eulero è una funzione particolare. Infatti essa è meromorfa sull'intero piano complesso, inoltre continua sui numeri reali positivi ed estende il concetto di fattoriale ai numeri complessi.

[blackdie]

estende il concetto di fattoriale ai numeri complessi.

Io chiedo una spiegazione proprio di questo,come estende il concetto di fattoriale a numeri non naturali....

[Nidhogg]

Allora la funzione gamma di Eulero è definita come: \( \displaystyle {\int_{{{0}}}^{{+\infty}}}{{t}}^{{x}}\cdot{{e}}^{{-{t}}}{\left.{d}{t}\right.} \) con \( \displaystyle {x}+{1}\gt{0} \) \( \displaystyle {x}\in\mathbb{R} \)

[carlo23]

estende il concetto di fattoriale ai numeri complessi.

Io chiedo una spiegazione proprio di questo,come estende il concetto di fattoriale a numeri non naturali....

Credo di aver capito i tuoi dubbi, infatti quando si dice fattoriale di un numero non naturale si intende un tipo di fattoriale generalizzato. Mi spiego meglio, se hai \( \displaystyle {n} \) oggetti differenti le loro possibili permutazioni saranno \( \displaystyle {n}! \), se hai \( \displaystyle \frac{{1}}{{2}} \) oggetti le loro possibili permutazioi non saranno \( \displaystyle {\left(\frac{{1}}{{2}}\right)}\ne\frac{\sqrt{{\pi}}}{{2}} \), anzi tu non puoi avere \( \displaystyle \frac{{1}}{{2}} \) oggetti!

Quindi quando si parla di fattoriale di un numero complesso non si intende il fattoriale nel senso combinatorio, cosa è successo,
Eulero grazie alle sue formidabili intuizioni ha trovato la funzione \( \displaystyle \Gamma \) che per i numeri naturali restituisce il fattoriale, allora dato che la funzione \( \displaystyle \Gamma \) è definita anche per il numeri complessi si può trovare il fattoriale di un numero complesso, ma attenzione, quel tipo di fattoriale è una generalizzazione del fattoriale combinatorio che per i numeri complessi non ha significato.

Ciao!

[blackdie]

ora ho capito grazie!