Fattorizzazione in irriducibili

[ifra.]

Ciao a tutti!
Ho un problema con la fattorizzazione in irriducibili del polinomio \( \displaystyle {{x}}^{{4}}+{2}{{x}}^{{2}}+{1} \) in \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{5}} \) che dovrebbe essere riducibile perchè ho trovato due radici (2 e 3 se non sbaglio) ma non so cosa fare, mi sto incartando...

[mistake89]

se \( \displaystyle \alpha \) è radice del polinomio \( \displaystyle {p}{\left({x}\right)} \) allora per il teorema di ruffini \( \displaystyle {\left({x}-\alpha\right)}{\mid}{p}{\left({x}\right)} \) parti da qui

[ifra.]

Ok, avevo fatto un errore nei conti ecco perchè sono andata un po' in panico...Ma se devo ridurre un polinomio in \( \displaystyle \mathbb{Q} \) da dove devo partire?Ho un casino in testa su questa roba...scusate.
Grazie!

[mistake89]

La fattorizzazione in \( \displaystyle \mathbb{Q} \) è ampiamente trattata in qualsiasi libro di algebra, sicuramente meglio di come potrei fare io su un forum quindi ti rimando alla lettura approfondita dei testi; anche perchè è un argomento piuttosto importante.
Comunque esiste il teorema di Eisenstein che ci fornisce un modo per vedere se un polinomio è irriducibile (attenzione: è una condizione necessaria ma non sufficiente questo teorema); altrimenti cerca le radici (che in questo caso sai come cercare?!) e dividi il polinomio; o ancora potresti provare anche la riduzione modulo in intero che non alteri il grado del coefficiente direttore e verificare l'irriducibilità in \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{n}} \) . La non riducibilità in \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{n}} \) implica la non riducibilità in \( \displaystyle \mathbb{Q} \) (attenzione: non vale il viceversa!)

Leggi bene comunque un libro di testo!

[ifra.]

Ecco, mi sono spiegata male, il fatto è che non so proprio come trovare le radici...sul libro non c'è scritto nulla!

[mistake89]

Ti darò una definizione rigorosa che presuppone che tu conosca la definizione formale di Polinomio.
Sia \( \displaystyle {f{{\left({x}\right)}}}={\sum_{{{i}={1}}}^{{n}}}{a}_{{i}}{{x}}^{{i}} \) polinomio in \( \displaystyle \mathbb{Z}{\left[{x}\right]} \) non costante. e sia \( \displaystyle {a}_{{n}}\ne{0} \)
sia \( \displaystyle \alpha=\frac{{r}}{{s}} \) \( \displaystyle {r},{s}\in\mathbb{Z} \) \( \displaystyle {M}{C}{D}{\left({r},{s}\right)}={1} \) una radice razionale di \( \displaystyle {f} \)
allora \( \displaystyle {r}{\mid}{a}_{{0}} \) e \( \displaystyle {s}{\mid}{a}_{{n}} \)

in parole povere quando ti trovi davanti ad un polinomio e lo devi fattorizzare in \( \displaystyle \mathbb{Q} \) costruisciti due insiemi formati rispettivamente dai divisori del termine note e dai divisori del coefficiente direttore, e consideri le possibili frazioni secondo quando scritto sopra... se una radice esiste, è lì dentro!

[ifra.]

Oh!Grazie mille!