[Automatica] Feedback stabilizzante

[crg]

Viene fornito un sistema

\( \displaystyle {\left\lbrace\matrix{{x}'{\left({t}\right)}={A}{x}{\left({t}\right)}+{B}{u}{\left({t}\right)}\\{y}{\left({t}\right)}={C}{x}{\left({t}\right)}}\right.} \)

Identificato dalle matrici

\( \displaystyle {A}={\left(\matrix{{1}&\frac{{1}}{{2}}&-{1}\\{10}&\frac{{5}}{{2}}&-{8}\\{4}&{1}&-{3}}\right)} \)

\( \displaystyle {B}={\left(\matrix{{1}\\{2}\\{2}}\right)} \)

\( \displaystyle {C}={\left(-{1},{0},{1}\right)} \)

Bisogna dire se è raggiungibile (non lo è), osservabile (lo è), e poi scomporlo secondo Kalman. Fin qui nessun problema.

Dopodiché un'altra domanda recita: "dire se il sistema è asintoticamente stabile, in caso negativo dire se è stabile, in caso negativo dire se è possibile trovare un feedback dallo stato che lo stabilizzi e spiegare la risposta."

So che la risposta è affermativa, ma come si dimostra questa cosa?

Poi la domanda continua:

"Si consideri adesso solo il sottosistema raggiungibile ed osservabile \( \displaystyle \Sigma_{{2}} \) determinato in precedenza. Dire se è possibile allocare in -1/2, mediante un feedback dallo stato \( \displaystyle {u}{\left({t}\right)}={K}{x}_{{2}}{\left({t}\right)} \) gli autovalori di \( \displaystyle \Sigma_{{2}} \), spiegando perché, e, in caso positivo, si trovi tale K."

Presumo che basti citare le condizioni del teorema di allocazione degli autovalori, il quale richiede che il sistema sia raggiungibile e che si allochino n autovalori simmetrici rispetto all'asse reale.