Fisica Sperimentale C - Legge di Gauss

[Pidgeon]

Ciao a tutti, vi pongo un problema:

Codice: Seleziona tutto

Una carica avente valore "q" è posta al centro di un cubo di lato "a" (vuoto all'interno).

Trovare il flusso del campo elettrico attraverso una delle facce del cubo

Mia soluzione:

Codice: Seleziona tutto

La carica q è presente, per induzione, sulla superficie del cubo.

La densità di carica superficiale è data da q/(6a^2), dove 6a^2 rappresenta il valore della superficie del cubo.

Per conoscere la carica presente su una delle 6 facce del cubo, si effettua il prodotto tra la densità di carica superficiale e il valore della superficie considerata, in questo caso pari ad a^2 (pari al valore dell'area di una delle facce del cubo).

Si ottiene qs = q/6, dove qs è la carica presente su una delle facce del cubo.

Gauss dice che la circuitazione lungo una superficie chiusa S (detta gaussiana) del prodotto scalare tra il campo elettrico e la normale alla superficie, è pari al flusso presente in tale superficie.

Il flusso è però anche pari al rapporto tra la carica racchiusa nella superficie gaussiana e la costante dielettrica Eo.

Quindi il flusso attraverso una delle facce del cubo è pari a qs/Eo, cioè q/(6Eo).

Credete che la soluzione possa essere corretta?

[strangolatoremancino]

C'è qualche passaggio che non capisco. Innanzitutto non credo che il flusso sia la circuitazione lungo una superficie chiusa. Il flusso è un integrale di superficie, cioè \( \displaystyle \int{E}\cdot{d}{A} \), con \( \displaystyle {d}{A} \) l'elemento infinitesimo di superficie. La circuitazione se non sbaglio è un integrale di linea. Poi credo che tu abbia applicato in modo sbagliato il fatto che la sommatoria delle cariche racchiuse da una superficie chiusa fratto la costante dielettrica dia il flusso totale attraverso la superficie :posto che non so se è giusto il ragionamento sull'induzione sulla supeficie del cubo (probabilmente sì eh non ho preferenze a riguardo ), tu hai considerato come una superficie chiusa una faccia del cubo, e non credo sia corretto, inoltre secondo la tua ipotesi la carica si trova sulla superficie e non racchiusa in un qualche modo.

Detto questo in ogni caso applicando il fatto che il flusso attraverso la superficie chiusa, cioè il cubo, è \( \displaystyle \frac{{q}}{\epsilon_{{0}}} \), e dato che a noi interessa solo il flusso attraverso un lato, cioè \( \displaystyle \frac{{1}}{{6}} \) della superficie totale, direi che il risultato è \( \displaystyle \frac{{q}}{{{6}\cdot\epsilon_{{0}}}} \)

Ora immagino di averne dette abbastanza (in realtà volevo provare l'ebrezza di postare a quest'ora ) quindi mi scuso prima di tutto con Pidgeon e spero sia una buona occasione per imparare qualcosa. Buonanotte a tutti

[Pidgeon]

Il flusso, calcolato tramite Gauss, rigarda una superficie chiusa (questo per definizione).

Infatti, Gauss dice che il flusso in una determinata superficie dipende dal valore della carica racchiusa in essa.

Quindi tecnicamente l'integrale si calcola lungo tutta la superficie (dovrebbe essere una circuitazione, dato che nei libri è presente un cerchio nel simbolo di integrale), in particolare è l'integrale del prodotto scalare tra il campo elettrico e la normale alla superficie infinitesima associata al campo.

Nel caso di una carica puntiforme "q" posta nel vuoto, se applico la legge di Gauss utilizzando come superficie gaussiana una sfera di raggio "r" con la carica posta nel centro, ottengo:

Flusso = E*(4*pi*r^2) = q/Eo

Dove 4*pi*r^2 è il valore della superficie della sfera.

Quindi E = 1/(4*pi*Eo)*q/r^2

In particolare il flusso attraverso tale superficie, vale sempre q/Eo, indipendentemente dalla superficie scelta (a patto che sia contenuta in essa la carica q).

Per quanto riguarda il cubo, concordi anche tu sul fatto che su ogni faccia del cubo, per simmetria, il flusso vale q/(6Eo).

Io però avevo pensato di iniziare direttamente calcolando la densità di carica superficiale, per poi poter trovare la quantità di carica su una delle facce del cubo, ricorrere ad una superficie gaussiana che la contenga ed infine giungere al valore del flusso.

C'è da dire che la superficie del cubo ha uno spessore infinitesimo, ed è neutra.

Quindi sulla superficie "interna" del cubo è presente una carica avente valore -q (per induzione), mentre su quella esterna è presente la carica q (in modo tale che q + (-q) = 0, affinchè la superficie rimaga neutra).

Quindi verrebbe da chiedersi: che tipo di superficie posso scegliere su una delle facce del cubo in modo tale che la carica racchiusa in essa sia effettivamente pari a q/6 e non a q/6 - q/6 = 0?

[strangolatoremancino]

Il cerchio sul simbolo di integrale indica che la superficie di integrazione deve esere chiusa, e ciò esclude l'utilizzo di una sola faccia del cubo, non essendo essa una superficie chiusa. Per carica racchiusa in una superficie si intende che tale carica si trova all'interno del volume delimitato dalla superficie chiusa, cioè si trova all'interno di un solido come può essere tutto il cubo, e non solo da una faccia. Tanto per ripetersi, una superficie gaussiana deve racchiudere un volume, e quindi una faccia del cubo è esclusa a priori. Il flusso inoltre non è quello che dici tu, ma come ho già scritto nell'intervento prima l'integrale del campo elettrico \( \displaystyle {E} \) in \( \displaystyle {d}{A} \).

Il flusso si può anche vedere come il prodotto scalare tra due vettori come tu dici, in cui uno è ovviamente il campo eletrtico \( \displaystyle {E} \), ma il secondo vettore non è la normale alla superficie: il secondo vettore è un vettore avente come modulo il valore dell'elemento di superficie \( \displaystyle \Delta_{{A}} \), e avente direzione e verso quelli della normale a tale superficie.

Comunque aspettiamo altri pareri