Foglio di carta illimitato - SNS 1962

[elios]

Leggendo questo esercizio mi rendo conto di non avere idea di come approcciarmi a risolverlo. Qualcuno può aiutarmi e guidarmi al ragionamento che devo seguire, per capire come devo ragionare? Grazie.

"Su un foglio di carta illimitato sono segnati due punti A e B. Si disponga di tre righe prive di suddivisioni, una lunga cm 8, l'altra lunga cm 11, la terza illimitata; dire con quale precisione si può misurare la distanza dei punti A e B."

Grazie.

[Feliciano]

Così ad occhio direi che il massimo errore che posso commettere è di 3.
Ma la soluzione che ho pensato io è puù pratica che matematico-teorica. Cioè potresti pensare di sovrapporre la riga di 11 a quella di 8 e quindi essere sicuro che il pezzo di riga che sporge è 3.
A questo punto è facile continuare.
Comunque forse qualche altro ne darà una soluzione più "seria".

[ViciousGoblin]

Leggendo questo esercizio mi rendo conto di non avere idea di come approcciarmi a risolverlo. Qualcuno può aiutarmi e guidarmi al ragionamento che devo seguire, per capire come devo ragionare? Grazie.

"Su un foglio di carta illimitato sono segnati due punti A e B. Si disponga di tre righe prive di suddivisioni, una lunga cm 8, l'altra lunga cm 11, la terza illimitata; dire con quale precisione si può misurare la distanza dei punti A e B."

Grazie.

Direi che il problema sottintende questo procedimento:

Faccio passare la linea illimitata per \( \displaystyle {A} \) e \( \displaystyle {B} \), dopo di che, partendo da \( \displaystyle {A} \) posso riportare i due segmenti di \( \displaystyle {8} \) e \( \displaystyle {11} \) cm ognuno un certo numero di volte sia in avanti che all'indietro
(non so se riesco a rendere l'idea). Quindi le distanze che riesco a misurare sono del tipo \( \displaystyle {8}{n}+{11}{m} \) con \( \displaystyle {n},{m} \) in \( \displaystyle \mathbb{Z} \) (interi relativi).

Quali numeri puo' generare l'espressione \( \displaystyle {8}{n}+{11}{m} \) al variare di \( \displaystyle {n},{m} \) in \( \displaystyle \mathbb{Z} \) ?? Ti lascio un po' riflettere.

EDIT ho il dubbio che si possa fare di meglio usando il piano ma non capisco come.
EDIT 2 Credo non si possa fare meglio (dato che non abbiamo una penna)

[blackbishop13]

Io farei così:
unisco A e B con la riga illimitata.
Poi pongo sulla retta il segmento da 8 cm con un estremo in A, e valuto la distanza da A a B:
può essere inferiore di 8 cm e allora diremo AB<8
oppure uguale a 8 cm
o maggiore di 8 cm e allora proverò con il segmento da 11 cm

Poi penso si possano usare più volte i segmenti, del tipo tracciare un arco di circonferenza con centro in A e raggio 8 o 11 che interseca la retta illimitata in C, poi con centro in C raggio 8 o 11, e così via fino a poter approssimare la posizione di B.

E alla posizione di B ci dovremmo arrivare sempre, con un margine di errore.

Poi calcolare il margine di errore... Se AB misura un multiplo di 8 o un multiplo di 11, si trova l'esatta distanza in cm
o anche se AB è ad esempio 19, oppure 68 perchè 19=11+8 e 68=11*4 + 8*3

se AB è maggiore di 11 e minore di 16, c'è margine di errore e possiamo individuarlo

Poi c'è un'altra osservazione, se AB<8 si puo provare a tracciare una circonferenza in B di raggio 11, e a seconda che siano una interna e l'altra esterna, o tangenti, o secanti, si può misurare meglio la posizione di B

Non saprei dire di più per adesso

[blackbishop13]

Chiedo scusa a ViciousGoblin e Feliciano che hanno risposto prima di me e con procedimenti simili, oanche un po piu precisi

Ma lascio il mio ragionamento, cosi chi vuole intervenire ha piu punti di vista...

[Feliciano]

per black bishop: come giustamente dice vicious non abbiamo una penna quindi gran parte del tuo ragionamento purtroppo non possiamo sfruttarlo.

Comunque quello che ho scritto io lo si può vedere come un caso particoalre della soluzione più generale proposta da Vicious, basta prendere \( \displaystyle {m}=-{n} \).

[Feliciano]

Comunque io azzarderei ad insistere che la precisione è di \( \displaystyle \pm{3} \)
Cioè VIcious ci ha fatto vedere quali valori possono essere misurati esattamente senza nessun errore, ovvero tutti i valori del tipo \( \displaystyle {8}{n}+{11}{m} \)
Però chiediamoci come un qualsiasi numero reale positivo si discosta da un numero razionale del tipo \( \displaystyle {8}{n}+{11}{m} \)
Ragioniamo per gradi, diciamo r la distanza da misurare
per n,m nulli tale differenza è proprio pari a r
per n=1,m=0 tale differenza diventa r-8
per n=0,m=1 tale differenza risulta r-11
per n=1,m=1 tale differenza diventa r-19
per n=-m la differenza è massimo r-3
dubito si possa fare di meglio.

quindi io a questo punto concluderei che l'errore massimo che posso commettere è 3

[ViciousGoblin]

Io volevo lasciare a elios la possibilita' di pensarci. Comunque per gli impazienti

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Si puo' arrivare a una precisione di un centimetro. Infatti \( \displaystyle {3}\cdot{11}-{4}\cdot{8}={33}-{32}={1} \). Piu' complicato e' vedere che non si puo' fare di meglio (esercizio - non ho voglia di farlo )
Chi voglia puo' provare a dimostrare che, se \( \displaystyle {K},{H} \) sono interi, allora \( \displaystyle {\left\lbrace{n}{K}+{m}{H}:{n},{m}\in\mathbb{Z}\right\rbrace}={\left\lbrace{n}\cdot{M}{C}{D}{\left({H},{K}\right)}:{n}\in\mathbb{Z}\right\rbrace} \)
dove \( \displaystyle {M}{C}{D} \) significa massimo comun divisore.

[Smt_1033]

Non ho letto la soluzione di Vicious, comunque direi che se la riga è illimitata solo da una parte (cioè abbiamo un estremo tra le mani), questa può essere usata per segnare la precisione raggiunta. Nel senso, diciamo che devo misurare un segmento lungo 5 cm (caso semplice), metto il righello da 8, gli affianco quello illimitato, lo tolgo e metto quello da 3 arrivando ai 5. In generale affianco quelli da 8 e da 3 partendo da A fino a superare B, poi uso quella infinita come "segno" e torno indietro fino alla misura esatta o fino a finire prima di B, quindi ripeto il procedimento fino a che non noto che l'ultima misura è meno precisa di quella precedente. Contando che posso ripetere quante volte voglio questo procedimento, posso scrivere la misura di AB come \( \displaystyle {3}{h}+{8}{k},{c}{o}{n}{k}\in\mathbb{Z} \), ottenendo \( \displaystyle {h} \) e \( \displaystyle {k} \) dalla volte che uso i righelli "in avanti" e "indietro", quindi posso misurare con precisione assoluta lunghezze intere, mentre per le altre l'errore è \( \displaystyle \lt{1} \).

Ora vedo che ha scritto Vicious.

[Smt_1033]

Senza fare considerazioni su quanto scritto da Vicious, ora che ci penso si può fare lo stesso ragionamento senza presupporre che della riga illimitata abbiamo un capo. Basta sovrapporre i righelli e poi se il bordo è dritto (e di solito un righello è rettangolare) girarne uno e far scendere l'altro fino alla riga facendolo scivolare sul bordo.