Forma di un polinomio - SNS 1978 (dubbio)

[elios]

"Dire quale forma deve avere un polinomio \( \displaystyle {P}{\left({x}\right)} \) affinché per ogni numero reale \( \displaystyle {x} \) si abbia \( \displaystyle {1}-{{x}}^{{4}}\le{P}{\left({x}\right)}\le{1}+{{x}}^{{4}} \)"

Si ha che per ogni \( \displaystyle {x} \) reale, \( \displaystyle {1}-{{x}}^{{4}}\le{1}+{{x}}^{{4}} \). Cosa si intende per "forma del polinomio"?
Ad esempio i polinomi \( \displaystyle {P}{\left({x}\right)}={1}-{{x}}^{{2}} \), oppure \( \displaystyle {P}{\left({x}\right)}={1}+{{x}}^{{2}} \) rispettano la condizione, ma ovviamente i polinomi che la rispettano sono infiniti.. Cosa mi chiede chiedendomi la forma?

Grazie dell'aiuto.

[Mathematico]

I polinomi che hai scritto non soddisfano le condizioni. Considera infatti che \( \displaystyle {1}-{{x}}^{{4}}\le{1}-{{x}}^{{2}}\Leftrightarrow{x}\in{A}={\left\lbrace{x}\in\mathbb{R}:{\left|{x}\right|}\ge{1}\right\rbrace}\bigcup{\left\lbrace{x}={0}\right\rbrace} \) mentre nel complementare di \( \displaystyle {A} \) ha che \( \displaystyle {1}-{{x}}^{{2}}\lt{1}-{{x}}^{{4}} \). Anche l'altro polinomio non soddisfa le condizioni.
Per quanto riguarda la domanda, dovresti cercare di determinare le condizioni sui coefficienti e sul grado del polinomio \( \displaystyle {P}{\left({x}\right)} \) di modo che soddisfi la catena di disuguaglianze.

[dissonance]

Mini-aggiunta a quanto dice Mathematico: io inizierei a mettere qualche paletto sul grado di \( \displaystyle {P} \). Poi al lavoro sui coefficienti.

[Gatto89]

E qualche caso particolare aggiungerei, tipo \( \displaystyle {x}={0} \)...

[elios]

Allora, partendo con il grado del polinomio: mi verrebbe da dire che il grado deve essere minore di 4, anche se non riesco a motivarlo per bene.. Mi viene da pensare che se il grado fosse maggiore la disequazione non potrebbe valere per tutti gli x..

Per quanto riguarda il caso \( \displaystyle {x}={0} \), credo che \( \displaystyle {P}{\left({x}\right)}={1} \) soddisfi la disequazione..

[Mathematico]

Perchè il grado deve essere minore di 4? Attento, nota che sia \( \displaystyle {P}{\left({x}\right)}={1}-{{x}}^{{4}} \) che \( \displaystyle {P}{\left({x}\right)}={1}+{{x}}^{{4}} \) sono dei polinomi "buoni" per le disuguaglianze.
Posso chiederti il ragionamento che fai per determinare il grado?

[elios]

Effettivamente non ho seguito un vero e proprio ragionamento: ho solo pensato che un polinomio della forma \( \displaystyle {a}{{x}}^{{5}}+{b}{{x}}^{{4}}+{c}{{x}}^{{3}}+{{\left.{d}{x}\right.}}^{{2}}+{e}{x}+{f} \) per quanto io possa lavorare sui coefficienti non riuscirei mai a renderlo soddisfacente di quella disuguaglianza per tutti gli \( \displaystyle {x} \), sia negativi sia positivi, già soltanto il segno darebbe non pochi problemi. Per questo avevo pensato ad un polinomio di grado pari in modo da non avere il segno come problema...
Mi mette davvero in crisi il ragionamento sul grado, sicuramente ho detto delle assurdità..

[Mathematico]

Penso che sarebbe utile ragionare come segue:

\( \displaystyle {1}-{{x}}^{{4}}\le{P}{\left({x}\right)}\le{1}+{{x}}^{{4}}\Rightarrow-{{x}}^{{4}}\le{P}{\left({x}\right)}-{1}\le{{x}}^{{4}}\Rightarrow-{1}\le\frac{{{P}{\left({x}\right)}-{1}}}{{{x}}^{{4}}}\le{1} \), parti da questo e vedi dove puoi arrivare

[elios]

Allora, se \( \displaystyle {P}{\left({x}\right)} \) ha grado \( \displaystyle {n} \), vuol dire che \( \displaystyle \frac{{{P}{\left({x}\right)}-{1}}}{{{x}}^{{4}}} \) ha grado \( \displaystyle {n}-{4} \). E questo polinomio risultante che ha grado \( \displaystyle {n}-{4} \) deve essere compreso fra -1 e 1 per ogni \( \displaystyle {x} \).

[Mathematico]

Sì ok, ora passiamo al limite per \( \displaystyle {x}\to\infty \). Cosa succede se \( \displaystyle \text{deg}{\left({P}{\left({x}\right)}-{1}\right)}\gt{4} \)?