Formula con variabile libera

[One]

Ok,credo di aver capito dove sbagliavo....
Scrivo questo problema,di cui spero aver trovato una soluzione corretta:
Il testo è simile a quello precedente,però ora \( \displaystyle {R}{\left({x},{y}\right)} \) indica x è un genitore di y,inoltre ho a disposizione oltre al segno \( \displaystyle = \),due variabili libere \( \displaystyle {x},{y} \).Devo descrivere x e y sono cugini
io lo svolto così:
\( \displaystyle \varphi{\left({x},{y}\right)}=\forall{z},{w},{k}{\left[{R}{\left({z},{w}\right)}\wedge{\left({z},{k}\right)}\right]}\rightarrow{\left[{\left({R}{\left({w},{x}\right)}\wedge{R}{\left({k},{y}\right)}\right)}\vee{R}{\left({\left({w},{y}\right)}\wedge{R}{\left({k},{x}\right)}\right)}\right]} \)
dove \( \displaystyle {z} \) è il nonno e \( \displaystyle {w},{k} \) gli zii.Nella prima parte della formula:\( \displaystyle {R}{\left({z},{w}\right)}\wedge{\left({z},{k}\right)} \) dico che \( \displaystyle {w} \) e \( \displaystyle {k} \) sono fratelli,mentre nella seconda parte:\( \displaystyle {\left({R}{\left({w},{x}\right)}\wedge{R}{\left({k},{y}\right)}\right)}\vee{\left({R}{\left({w},{y}\right)}\wedge{R}{\left({k},{x}\right)}\right)} \) dico che \( \displaystyle {x} \) ed \( \displaystyle {y} \) sono figli di \( \displaystyle {w} \) e \( \displaystyle {k} \),quindi sono cugini.L'unico mio dubbio rimane quello di non aver mai utilizzato il simbolo \( \displaystyle = \)

[vict85]

Stai dicendo che per ogni \(\displaystyle z,w,k \) tali che \(\displaystyle w \) e \(\displaystyle k \) sono fratelli e \(\displaystyle k \) un loro genitore risulta che uno dei due è padre di \(\displaystyle x \) e l'altro di \(\displaystyle y \). Direi quindi che non va...

Sia \(\displaystyle x\prec y \) e \(\displaystyle y\succ x \) le relazioni "figlio di" e "genitore di".

Un cugino è il figlio del fratello di un genitore. Sto solo considerando il primo grado ovviamente.

Se \(\displaystyle x \) e \(\displaystyle y \) sono i cugini, \(\displaystyle \bar{x} \) e \(\displaystyle \bar{y} \) i rispettivi genitori fratelli e \(\displaystyle z \) un nonno di entrambi.

Risulterà
\(\displaystyle x\prec \bar{x} \prec z\)
\(\displaystyle y\prec \bar{y} \prec z\)
\(\displaystyle \bar{x}\neq \bar{y} \)

La relazione dei cugini quindi si scriverebbe come esiste un nonno comune ma non sono fratelli.

\(\displaystyle \exists\bar{x}, \bar{y}, z\left[ (x\prec \bar{x})\wedge (y\prec \bar{y})\wedge (\bar{x} \neq \bar{y}) \wedge (\bar{x} \prec z) \wedge (\bar{y} \prec z)\right] \)

Riscritto in formula logica più formale risulta:

\(\displaystyle \varphi(x,y) = \exists\bar{x}, \bar{y}, z\left[ R(\bar{x}, x)\wedge R(\bar{y}, y)\wedge \neg(\bar{x} = \bar{y}) \wedge R(z, \bar{x}) \wedge R(z, \bar{y})\right] \)

P.S.: La formula funziona a meno che non ci sia stano un incesto (fratello con sorella).