Formule di bisezione...

[*anicka]

Non riesco ad ottenere il risultato corretto per questo quesito:
tg\( \displaystyle \frac{{&#{945};+&#{946};}}{{2}} \) sapendo che:
cosα= - 7/25 (π<α<3/2π) e tgβ= 4/3 (π<α<3/2π)
Risultato:
Io ho fatto così: trovo tgα, dopo aver trovato senα.
Da qui trovo tg(α+β) e poi tg di quello che risulta /2 con la formula di bisezione di tg(qualcosa)/2.
Forse ho sbagliato il procedimento oppure i segni.
Una domanda che mi è sorta nello svoglimento è: perchè tgβ non è negativo dato che si trova nel terzo quadrante? E' una domanda stupida ma importante per lo svolgimento di problemi di questo tipo...
Grazie in anticipo e buon week-end a tutti.

[nicola de rosa]

Non riesco ad ottenere il risultato corretto per questo quesito:
tg\( \displaystyle \frac{{&#{945};+&#{946};}}{{2}} \) sapendo che:
cosα= - 7/25 (π<α<3/2π) e tgβ= 4/3 (π<α<3/2π)
Risultato:
Io ho fatto così: trovo tgα, dopo aver trovato senα.
Da qui trovo tg(α+β) e poi tg di quello che risulta /2 con la formula di bisezione di tg(qualcosa)/2.
Forse ho sbagliato il procedimento oppure i segni.
Una domanda che mi è sorta nello svoglimento è: perchè tgβ non è negativo dato che si trova nel terzo quadrante? E' una domanda stupida ma importante per lo svolgimento di problemi di questo tipo...
Grazie in anticipo e buon week-end a tutti.

qual è il risultato?

[*anicka]

<il risultato è 2. Mi ero dimenticata di scriverlo...Sorry!

[Steven]

Ciao anicka.
Ti chiedi perchè \( \displaystyle {t}{g{\beta}} \) è positiva anche se l'angolo appartiene al 3° quadrante. Ricordiamo che la tangente è l'ordinata del punto di intersezione della retta passante per l'origine che descrive l'angolo e la retta x=1. Se l'angolo è compreso tra \( \displaystyle \pi \) e \( \displaystyle {3}\frac{\pi}{{2}} \) ti accorgi facilmente anche disegnando la circonferenza goniometrice che questo punto è nel primo quadrante, e quindi positivo. La tangente risulta positiva. Puoi anche pensare alla periodicità della tangente, che è 180°: la tangente di un angolo al primo quadrante è positiva, ma tu sai che lo stasso valore positivo lo ritrovi dopo 180°, ovvero nel 3 quadrante.
Riguardo all'espressione, non ho capito bene come hai proceduto.
Noi sappiamo che \( \displaystyle {\tan{{x}}}={2}\frac{{\tan{{\left(\frac{{x}}{{2}}\right)}}}}{{{1}-{{\tan}}^{{2}}\frac{{x}}{{2}}}} \), ma da questa relazione noi possiamo conoscere la tangente dell'angolo a partire dall'angolo metà, ma noi cerchiamo invece l'angolo metà a partire da quello intero. Volendo esplicitare \( \displaystyle {t}{g{{\left(\frac{{x}}{{2}}\right)}}} \) ci troviamo di fronte a calcoli complessi.
Ti introduco una formula che non so se conosci: \( \displaystyle {\tan{{\left(\frac{{x}}{{2}}\right)}}}=\frac{{\sin{{x}}}}{{{1}+{\cos{{x}}}}} \)
Si ricava così: \( \displaystyle {t}{g{{\left(\frac{{x}}{{2}}\right)}}}=\frac{{\sin{{\left(\frac{{x}}{{2}}\right)}}}}{{\cos{{\left(\frac{{x}}{{2}}\right)}}}} \)
moltiplichiamo numeratore e denominatore per 2cos(x/2) e otteniamo
\( \displaystyle {t}{g{{\left(\frac{{x}}{{2}}\right)}}}=\frac{{{2}{\sin{{\left(\frac{{x}}{{2}}\right)}}}{\cos{{\left(\frac{{x}}{{2}}\right)}}}}}{{{2}{{\cos}}^{{2}}{\left(\frac{{x}}{{2}}\right)}}} \)
che è uguale a \( \displaystyle \frac{{\sin{{x}}}}{{{1}+{\cos{{x}}}}} \)
A partire da questa formula, sappiamo che \( \displaystyle {\tan{{\left(\frac{{\alpha+\beta}}{{2}}\right)}}}=\frac{{\sin{{\left(\alpha+\beta\right)}}}}{{{1}+{\cos{{\left(\alpha+\beta\right)}}}}} \)
Quindi trova il seno e il coseno di \( \displaystyle \alpha \) e \( \displaystyle \beta \), sostituisci e fai i calcoli. A me è venuto.

[Steven]

Aspetta ho sbagliato a digitare molte cose... aspetta che correggo

[*anicka]

Grazie Steven,
davvero mi sei di grande aiuto nello stato di sconforto che mi creano le materie scientifiche!
Anicka
PS: Ok, guardo la versione che mi mandi dopo.

[Steven]

Ok ho corretto... spero sia tutto giusto, è stato più difficile scrivere bene che fare il ragionamento.
Comunque mi dispiace che le materie scientifiche ti creino così tanto sconforto, come mai questa cosa?

[nicola de rosa]

io lo farei così
\( \displaystyle {t}{g{{\left(\frac{\alpha}{{2}}+\frac{\beta}{{2}}\right)}}}=\frac{{{t}{g{{\left(\frac{\alpha}{{2}}\right)}}}+{t}{g{{\left(\frac{\beta}{{2}}\right)}}}}}{{{1}-{t}{g{{\left(\frac{\alpha}{{2}}\right)}}}\cdot{t}{g{{\left(\frac{\beta}{{2}}\right)}}}}} \)
Ora \( \displaystyle {t}{g{{\left(\frac{\alpha}{{2}}\right)}}}=\pm\sqrt{{\frac{{{1}-{\cos{{\left(\alpha\right)}}}}}{{{1}+{\cos{{\left(\alpha\right)}}}}}}} \) e poichè \( \displaystyle \frac{\pi}{{2}}\lt\frac{\alpha}{{2}}\lt\frac{{3}}{{4}}\cdot\pi \) allora \( \displaystyle {t}{g{{\left(\frac{\alpha}{{2}}\right)}}}\lt{0} \) per cui
\( \displaystyle {t}{g{{\left(\frac{\alpha}{{2}}\right)}}}=-\sqrt{{\frac{{{1}+\frac{{7}}{{25}}}}{{{1}-\frac{{7}}{{25}}}}}}=-\frac{{4}}{{3}} \)

Ora ci serve \( \displaystyle {t}{g{{\left(\frac{\beta}{{2}}\right)}}} \). Poichè \( \displaystyle \frac{\pi}{{2}}\lt\frac{\beta}{{2}}\lt\frac{{3}}{{4}}\cdot\pi \) allora \( \displaystyle {t}{g{{\left(\frac{\beta}{{2}}\right)}}}\lt{0} \). Sfurttiamo la formula di duplicazione
\( \displaystyle {t}{g{{\left(\beta\right)}}}=\frac{{{2}\cdot{t}{g{{\left(\frac{\beta}{{2}}\right)}}}}}{{{1}-{t}{{g}}^{{2}}{\left(\frac{\beta}{{2}}\right)}}}\to\frac{{4}}{{3}}=\frac{{{2}\cdot{t}{g{{\left(\frac{\beta}{{2}}\right)}}}}}{{{1}-{t}{{g}}^{{2}}{\left(\frac{\beta}{{2}}\right)}}} \) cioè supposto \( \displaystyle {t}{g{{\left(\frac{\beta}{{2}}\right)}}}\ne\pm{1} \) dobbiamo risolvere l'equazione \( \displaystyle {2}{t}{{g}}^{{2}}{\left(\frac{\beta}{{2}}\right)}+{3}{t}{g{{\left(\frac{\beta}{{2}}\right)}}}-{2}={0}\to{t}{g{{\left(\frac{\beta}{{2}}\right)}}}=\frac{{-{3}\pm{5}}}{{4}} \) cioè \( \displaystyle {t}{g}_{{1}}{\left(\frac{\beta}{{2}}\right)}=-{2},{t}{g}_{{2}}{\left(\frac{\beta}{{2}}\right)}=\frac{{1}}{{2}} \) ma la soluzione accettabile è \( \displaystyle {t}{g{{\left(\frac{\beta}{{2}}\right)}}}=-{2} \) visto che \( \displaystyle {t}{g{{\left(\frac{\beta}{{2}}\right)}}}\lt{0} \).
Quindi \( \displaystyle {t}{g{{\left(\frac{\alpha}{{2}}\right)}}}=-\frac{{4}}{{3}},{t}{g{{\left(\frac{\beta}{{2}}\right)}}}=-{2} \) per cui
\( \displaystyle {t}{g{{\left(\frac{\alpha}{{2}}+\frac{\beta}{{2}}\right)}}}=\frac{{{t}{g{{\left(\frac{\alpha}{{2}}\right)}}}+{t}{g{{\left(\frac{\beta}{{2}}\right)}}}}}{{{1}-{t}{g{{\left(\frac{\alpha}{{2}}\right)}}}\cdot{t}{g{{\left(\frac{\beta}{{2}}\right)}}}}}=\frac{{-\frac{{4}}{{3}}-{2}}}{{{1}-\frac{{8}}{{3}}}}={2} \)

[Steven]

Hai ragione, ma ho voluto evitarle i radicali. Ciao

[*anicka]

Frequento un liceo scientifico con sperimentazione in lingua inglese (che prevede oltretutto esami in inglese in quasi tutte le materie di studio) e purtroppo non posso dire di avere una spiccata capacità per le materie scientifiche... Ma tento di migliorare, soprattutto guardando queste materie non come "nemiche" ma semplicemente come parti integranti del corso formativo che ho scelto.
Fortunatamente trovo soddisfazione nelle materie umanistiche e nell'apprendimento delle lingue...