Formule di Poisson e domanda di "geometria"

[Eredir]

francamente a me già sta cosa mi lascia un pò perplesso... non bastava fare \( \displaystyle \frac{{{d}{u}_{{x}}}}{{\left.{d}{t}\right.}}\cdot{u}_{{x}} \) perchè moltiplicarlo di nuovo per \( \displaystyle {u}_{{x}} \) ?

Non è possibile poichè \( \displaystyle \frac{{{d}{\hat{{{u}_{{x}}}}}}}{{\left.{d}{t}\right.}}\cdot{\hat{{{u}_{{x}}}}} \) è uno scalare mentre a sinistra hai un vettore.
Quello che vuoi fare è scrivere \( \displaystyle \frac{{{d}{\hat{{{u}_{{x}}}}}}}{{\left.{d}{t}\right.}} \) in termini dei tre versori della tua base, ovvero formalmente \( \displaystyle \frac{{{d}{\hat{{{u}_{{x}}}}}}}{{\left.{d}{t}\right.}}={a}{\hat{{{u}_{{x}}}}}+{b}{\hat{{{u}_{{y}}}}}+{c}{\hat{{{u}_{{z}}}}} \).
Per trovare i coefficienti basta moltiplicare ambo i membri per i tre versori, sfruttando l'ortonormalità dei versori. Ad esempio moltiplicando per \( \displaystyle {\hat{{{u}_{{x}}}}} \) hai \( \displaystyle {a}=\frac{{{d}{\hat{{{u}_{{x}}}}}}}{{\left.{d}{t}\right.}}\cdot{\hat{{{u}_{{x}}}}} \).
Procedendo ugualmente per gli altri ottieni \( \displaystyle \frac{{{d}{\hat{{{u}_{{x}}}}}}}{{\left.{d}{t}\right.}}={\left(\frac{{{d}{\hat{{{u}_{{x}}}}}}}{{\left.{d}{t}\right.}}\cdot{\hat{{{u}_{{x}}}}}\right)}{\hat{{{u}_{{x}}}}}+{\left(\frac{{{d}{\hat{{{u}_{{x}}}}}}}{{\left.{d}{t}\right.}}\cdot{\hat{{{u}_{{y}}}}}\right)}{\hat{{{u}_{{y}}}}}+{\left(\frac{{{d}{\hat{{{u}_{{x}}}}}}}{{\left.{d}{t}\right.}}\cdot{\hat{{{u}_{{z}}}}}\right)}{\hat{{{u}_{{z}}}}} \).

[Tonin]

ok grazie. e il vettore omega da dove lo fa uscire? in base a cosa dice che ha quella forma?

[Eredir]

ok grazie. e il vettore omega da dove lo fa uscire? in base a cosa dice che ha quella forma?

Direi che lo definisce in modo da poter scrivere \( \displaystyle \frac{{{d}{\hat{{{u}_{{x}}}}}}}{{\left.{d}{t}\right.}}={\vec{{\omega}}}\times{\hat{{{u}_{{x}}}}} \).

[Tonin]

si vuole arrivare a quella formula ma vorrei capire in base a cosa io posso dire che le componenti di omega sono quelle... non so se è chiara la domanda...

[Eredir]

Prima espliciti \( \displaystyle {\vec{{\omega}}}\times{\hat{{{u}_{{x}}}}}={\left(\omega_{{x}}{\hat{{{u}_{{x}}}}}+\omega_{{y}}{\hat{{{u}_{{y}}}}}+\omega_{{z}}{\hat{{{u}_{{z}}}}}\right)}\times{\hat{{{u}_{{x}}}}}=\omega_{{y}}{\hat{{{u}_{{y}}}}}\times{\hat{{{u}_{{x}}}}}+\omega_{{z}}{\hat{{{u}_{{z}}}}}\times{\hat{{{u}_{{x}}}}}=-\omega_{{y}}{\hat{{{u}_{{z}}}}}+\omega_{{z}}{\hat{{{u}_{{y}}}}} \).
Poi uguagli questa espressione con quella precedentemente trovata, ovvero \( \displaystyle \frac{{{d}{\hat{{{u}_{{x}}}}}}}{{\left.{d}{t}\right.}}={\left(\frac{{{d}{\hat{{{u}_{{x}}}}}}}{{\left.{d}{t}\right.}}\cdot{\hat{{{u}_{{x}}}}}\right)}{\hat{{{u}_{{x}}}}}+{\left(\frac{{{d}{\hat{{{u}_{{x}}}}}}}{{\left.{d}{t}\right.}}\cdot{\hat{{{u}_{{y}}}}}\right)}{\hat{{{u}_{{y}}}}}+{\left(\frac{{{d}{\hat{{{u}_{{x}}}}}}}{{\left.{d}{t}\right.}}\cdot{\hat{{{u}_{{z}}}}}\right)}{\hat{{{u}_{{z}}}}} \).
A questo punto uguagli le componenti e sfrutti la relazione \( \displaystyle \frac{{{d}{\hat{{{u}_{{x}}}}}}}{{\left.{d}{t}\right.}}\cdot{\hat{{{u}_{{z}}}}}=-\frac{{{d}{\hat{{{u}_{{z}}}}}}}{{\left.{d}{t}\right.}}\cdot{\hat{{{u}_{{x}}}}} \), in questo modo ottieni \( \displaystyle \omega_{{y}}=\frac{{{d}{\hat{{{u}_{{z}}}}}}}{{\left.{d}{t}\right.}}\cdot{\hat{{{u}_{{x}}}}} \) e \( \displaystyle \omega_{{z}}=\frac{{{d}{\hat{{{u}_{{x}}}}}}}{{\left.{d}{t}\right.}}\cdot{\hat{{{u}_{{y}}}}} \).
In questo procedimento è ininfluente il modo in cui definisci \( \displaystyle \omega_{{x}} \), poichè questa componente si annulla nel prodotto vettoriale, ma ad occhio direi che ripetendo lo stesso procedimento per un altro versore venga una componente di quel tipo.

[Tonin]

ok grazie