funzione con quadrati

[carlo23]

Propongo questo quesito: trovare una funzione rappresentabile in termini di funzioni elementari che abbia uno sviluppo in serie di Maclaurin uguale a

f(x)=x+4x^2+9x^3+16x^4+25x^5+....+(n^2)x^n+....

[MaMo]

La funzione è:
$f(x) = [x(1+x)]/(1-x)^3
Lascio ad altri la soddisfazione di dimostrarlo.

[Nidhogg]

\( \displaystyle {\sum_{{{n}={1}}}^{\infty}}{{n}}^{{2}}\cdot{{x}}^{{n}}={x}+{4}{{x}}^{{2}}+{9}{{x}}^{{3}}+{16}{{x}}^{{4}}+{25}{{x}}^{{5}}+\ldots+{{n}}^{{2}}\cdot{{x}}^{{n}}+\ldots \)
La serie converge assolutamente in (−1, 1), non converge per 1, converge totalmente in [−M,M] per ogni \( \displaystyle {M}\in{\left({0},{1}\right)} \),
non converge uniformemente in (0, 1). In (−1, 1) si ha \( \displaystyle {\sum_{{{n}={0}}}^{\infty}}{{x}}^{{n}}=\frac{{1}}{{{1}-{x}}} \), e quindi derivando per serie e poi moltiplicando per x (2 volte)
\( \displaystyle {\sum_{{{n}={1}}}^{\infty}}{n}\cdot{{x}}^{{n}}=\frac{{x}}{{{\left({1}-{x}\right)}}^{{2}}} \), \( \displaystyle {\sum_{{{n}={1}}}^{\infty}}{{n}}^{{2}}\cdot{{x}}^{{n}}=\frac{{{x}\cdot{\left({x}+{1}\right)}}}{{{\left({1}-{x}\right)}}^{{3}}} \)

[carlo23]

è proprio così, tra l'altro per ricavare una funzione simile con cubi invece di quadrati è sufficiente derivare la funzione con i quadrati e poi moltiplicarla per x, per ricavare una funzione simile con quarte potenze invece di cubi è sufficiente derivare la funzione con i cubi e poi moltiplicarla per x, e così via...

[Nidhogg]

Ringrazio sia carlo23, perchè ha postato questo quesito originale, che MaMo, perchè mi ha dato la possibilità e la soddisfazione! di dimostrarlo.