Funzioni algebriche su campo differenziale

[0nb0]

Salve: nella dimostrazione di un teorema vorrei chiarire alcune nozioni.
La prima riguarda l'estensione elementare di tipo algebrico di un campo differenziale: cosa significa che l'elemento y (che è una funzione) è algebrico sul campo differenziale K? So che una funzione algebrica è una funzione che può essere ricavata come una radice di un polinomio in 2 variabili P(x,y)=0: quindi dal polinomio x-y^2=0 posso ricavarmi che y=x^(1/2) è una funzione algebrica, ma nel caso di y algebrico su K posso usare al posto della variabile x anche una funzione del campo differenziale?
Poi nella dimostrazione del teorema si dice: "la derivata dy/dx (dove sempre y è una funzione algebrica nella variabile x) di una funzione algebrica su K di grado maggiore o uguale a 2 è esprimibile tramite una funzione razionale di y con numeratore o denominatore non nulli" oltre all'asserzione in se che non so dimostrare non riesco a capire cosa sia il grado della funzione algebrica: se esempio ho y=(x^2-x)^(1/2) qual'è il suo grado?

[Nomadje]

Un metodo molto veloce che utilizzavo per determinare il grado di una funzione algebrica era quello di considerare il confronto asintotico per \( \displaystyle {x}\to\infty \) con un'altra funzione algebrica in cui la \( \displaystyle {x} \) compare una volta sola, ed è quindi di grado equivalente.

Nel tuo caso ad esempio, per \( \displaystyle {x}\to\infty \) si ha che: \( \displaystyle \sqrt{{{{x}}^{{{2}}}-{x}}}=\sqrt{{{{x}}^{{{2}}}-{o}{\left({{x}}^{{{2}}}\right)}}}={\left|{x}\right|}-{o}{\left({\left|{x}\right|}\right)} \)
Quindi \( \displaystyle {y}{\left({x}\right)}\approx{\left|{x}\right|} \) , \( \displaystyle {x}\to\infty \) e di conseguenza ha grado 1.

[0nb0]

Sei sicuro che sia questa la definizione del grado? Perchè potrei anche prendere in considerazione il limite per x tendente a zero, in quel caso non è detto che risulti sempre di grado 1 (anzi penso che il suo grado ora sia 1/2).
Comunque cos'è quel simbolo simile ad un pallino da te usato dentro la radice?