[Sistemi] Funzioni di trasferimento Open e Closed Loop

[Omen]

Salve ragazzi,
come da oggetto, ho un problema nel capire la differenza tra funzioni di trasferimento (FdT) Open Loop (OL) e Closed Loop (CL) in un sistema retroazionato. Nel caso più banale non ci dovrebbero essere problemi:

\( \displaystyle \frac{{{O}{\left({s}\right)}}}{{{I}{\left({s}\right)}}}=\frac{{{G}{\left({s}\right)}}}{{{1}+{H}{\left({s}\right)}{G}{\left({s}\right)}}}={T}{\left({s}\right)} \)

dove \( \displaystyle {I}{\left({s}\right)} \) è l'input, \( \displaystyle {O}{\left({s}\right)} \) l'output, \( \displaystyle {H}{\left({s}\right)} \) il feedback, \( \displaystyle {G}{\left({s}\right)} \) la FdT OL (cioè come se non ci fosse retroazione) ed infine la \( \displaystyle {T}{\left({s}\right)} \) è la FdT a ciclo chiuso. Però, inserendo un controllo \( \displaystyle {C}{\left({s}\right)} \) ed un disturbo \( \displaystyle {U}{\left({s}\right)} \), le cose si complicano:

\( \displaystyle {X}{\left({s}\right)}=\frac{{{G}{\left({s}\right)}}}{{{1}+{G}{\left({s}\right)}{C}{\left({s}\right)}{H}{\left({s}\right)}}}{U}{\left({s}\right)}+\frac{{{G}{\left({s}\right)}{C}{\left({s}\right)}}}{{{1}+{G}{\left({s}\right)}{C}{\left({s}\right)}{H}{\left({s}\right)}}}{X}{r}{e}{f{{\left({s}\right)}}} \)

Considerando che \( \displaystyle {X} \) è l'uscita ed \( \displaystyle {X}{r}{e}{f} \) (scusate, ma non sono riuscito a mettere il pedice) il comando, utilizzando per il resto la notazione precedente, questa relazione è giusta? Cioè, \( \displaystyle {G}{\left({s}\right)} \) rappresenta la FdT OL? Io direi di si, ma sul mio materiale didattico trovo l'imposizione:

\( \displaystyle {T}{o}{l}{\left({s}\right)}={C}{\left({s}\right)}{G}{\left({s}\right)} \)

con \( \displaystyle {T}{o}{l}{\left({s}\right)} \) FdT OL. E così facendo si riconduce alle FdT CL riportata nella forma

\( \displaystyle \frac{{{T}{o}{l}{\left({s}\right)}}}{{{1}+{H}{\left({s}\right)}{T}{o}{l}{\left({s}\right)}}}={T}{c}{l}{\left({s}\right)} \)

PS: chiedo scusa, ma non sapevo come mettere i diagrammi

[kinder]

sarebbe utile che tu riportassi un disegno dello schema a blocchi del sistema.

Per i pedici, guarda qui: http://www.matematicamente.it/forum/com ... 26179.html

[Omen]

Si, scusa, hai ragione: provvedo subito:

utilizzando la notazione riportata in quest'immagine:



il mio dubbio è: \( \displaystyle {G}_{{2}}{\left({s}\right)} \) è la funzione di trasferimento open loop (chiamiamola \( \displaystyle {T}_{{{O}{L}}}{\left({s}\right)} \))? Perchè, sul mio materiale didattico è posto: \( \displaystyle {T}_{{{O}{L}}}{\left({s}\right)}={G}_{{1}}{\left({s}\right)}{G}_{{2}}{\left({s}\right)} \). Tale imposizione è poi sfruttata per ricondursi alla forma classica (ammesso \( \displaystyle {H}{\left({s}\right)}={1} \)):

\( \displaystyle \frac{{{Y}{\left({s}\right)}}}{{{X}{\left({s}\right)}}}=\frac{{{T}_{{{O}{L}}}{\left({s}\right)}}}{{{1}+{T}_{{{O}{L}}}{\left({s}\right)}}} \)

Ma al di là della semplice notazione, il mio dubbio riguarda proprio l'entità algebrica di queste funzioni. Mi spiego meglio: consideriamo ad esempio un sistema del secondo ordine del tipo \( \displaystyle {\ddot{{x}}}{\left({t}\right)}+{2}\zeta\omega_{{n}}{\dot{{x}}}{\left({t}\right)}+{\omega_{{n}}^{{2}}}{\left({t}\right)}={B}{u}{\left({t}\right)} \) che, in condizioni iniziali nulle, nel dominio di Laplace diviene \( \displaystyle {X}{\left({s}\right)}=\frac{{B}}{{{{s}}^{{2}}+{2}\zeta\omega_{{n}}{s}+{\omega_{{n}}^{{2}}}}}{U}{\left({s}\right)} \). Consideriamo anche un controllore PID del tipo \( \displaystyle {G}_{{1}}{\left({s}\right)}=\frac{{{K}_{{P}}+{s}{K}_{{D}}+\frac{{K}_{{I}}}{{s}}}}{{B}} \) .

Ora, la \( \displaystyle {X}{\left({s}\right)} \) appena scritta corrisponde alla \( \displaystyle {G}_{{2}}{\left({s}\right)} \) della figura, giusto? Mentre la funzione di trasferimento OL è:
\( \displaystyle {T}_{{{O}{L}}}{\left({s}\right)}={G}_{{1}}{\left({s}\right)}{X}{\left({s}\right)}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{m}{a}{a}{l}{l}{\quad\text{or}\quad}{a}{m}{i}{s}{\quad\text{or}\quad}\ge{u}{n}{d}{u}{\mathbf{{i}}}{o}:\lt{s}{p}{a}{n}{s}{t}{y}\le=\text{text-decoration: underline}\gt{c}{o}{m}{e}{s}{i}{d}{e}{f{\in}}{i}{s}{c}{e}{l}{a}{f{{u}}}{n}{z}{i}{o}\ne{d}{i}{t}{r}{a}{\mathsf{{e}}}{r}{i}{m}{e}{n}\to{o}{p}{e}{n}{l}\infty{p}?\frac{\lt}{{s}}{p}{a}{n}\gt{I}{o}{l}{a}{d}{e}{f{\in}}{i}{v}{o}{c}{o}{m}{e}{q}{u}{e}{l}{l}{a}\partial{c}{i}{c}{l}{o}{n}{o}{n}{r}{e}{t}{r}{o}{a}{z}{i}{o}{n}{a}\to,{m}{a}\in{q}{u}{e}{s}\to{c}{a}{s}{o}{s}{i}{a}{v}{r}{e}{\mathbf{{e}}}{c}{h}{e}{e}{s}{s}{a}è\propto{r}{i}{o}{l}{a} \)G_2(s) \( \displaystyle \partial{l}{a}{f{{i}}}{g{{u}}}{r}{a},{e}{n}{o}{n}\più{l}{a} \) G_1(s)G_2(s) $ così come dice il mio materiale didattico.

Insomma, non so se ho reso il mio problema, spero solo che qualcuno lo abbia compreso

[kinder]

mi pare tu ti stia complicando la vita. Non ho capito i tuoi dubbi. Comunque, la FdT open loop la ottieni aprendo il loop (interrompendo il feedback). Se fai ciò, la FdT è \( \displaystyle {G}_{{1}}{\left({s}\right)}\cdot{G}_{{2}}{\left({s}\right)} \), se consideri ingresso e uscita rispettivamente \( \displaystyle {X}{\left({s}\right)} \) e \( \displaystyle {Y}{\left({s}\right)} \).
Da alcuni discorsi che hai fatto mi sembra tu non abbia capito cos'è la FdT. Questa è il rapporto tra uscita ed ingresso del sistema che stai considerando.
Nel caso tuo, se l'ingresso è \( \displaystyle {X}{\left({s}\right)} \) e l'uscita è \( \displaystyle {Y}{\left({s}\right)} \), allora la FdT relativa (OL) è \( \displaystyle \frac{{{Y}{\left({s}\right)}}}{{{X}{\left({s}\right)}}}={G}_{{1}}{\left({s}\right)}\cdot{G}_{{2}}{\left({s}\right)} \).
Più in generale, dovrai considerare per definizione \( \displaystyle {F}{d}{T}{\left({s}\right)}=\frac{{{U}{\left({s}\right)}}}{{{I}{\left({s}\right)}}} \) con U e I uscita e ingresso. Poiché se metti in serie dei blocchi la FdT del sistema serie è il prodotto delle FdT dei singoli blocchi, allora avrai che se hai n blocchi in serie la FdT del sistema serie sarà \( \displaystyle {G}_{{1}}{\left({s}\right)}\cdot{G}_{{2}}{\left({s}\right)}\cdot\ldots.\cdot{G}_{{n}}{\left({s}\right)} \)

[Omen]

Grazie mille, finalmente inizio a districare il problema Diciamo che i miei dubbi nascevano da un abuso di notazione presente sui miei appunti, in cui veniva detta FdT OL dapprima la sola \( \displaystyle {G}_{{2}}{\left({s}\right)} \) della figura, ed il prodotto \( \displaystyle {G}_{{1}}{\left({s}\right)}{G}_{{2}}{\left({s}\right)} \) poi. Altra complicanza nasceva dalla definizione di FdT come laplace trasformata della risposta all'impulso unitario, il che è meno immediato rispetto alla definizione da te postata.

Ma questo:

Comunque, la FdT open loop la ottieni aprendo il loop (interrompendo il feedback). Se fai ciò, la FdT è G1(s)⋅G2(s), se consideri ingresso e uscita rispettivamente X(s) e Y(s).

mi ha schiarito le idee, grazie.