Funzioni Goniometriche (Identità)

[Sheker]

Raga non riesco a trovare la risoluzione ad alcune identità, se per piacere mi sapreste aiutare ne sarei felice!

\( \displaystyle \frac{{{2}{{\tan}}^{{2}}\alpha}}{{{1}+{{\tan}}^{{4}}\alpha}}=\frac{{{{\tan}}^{{2}}{2}\alpha}}{{{2}+{{\tan}}^{{2}}{2}\alpha}} \)

\( \displaystyle \frac{{{2}{\left(\frac{{{{\sin}}^{{2}}\alpha}}{{{{\cos}}^{{2}}\alpha}}\right)}}}{{{1}+{\left(\frac{{{{\sin}}^{{4}}\alpha}}{{{{\cos}}^{{4}}\alpha}}\right)}}}=\frac{{{\left(\frac{{{2}{\tan{\alpha}}}}{{{1}-{{\tan}}^{{2}}\alpha}}\right)}}^{{2}}}{{{2}+{{\left(\frac{{{2}{\tan{\alpha}}}}{{{1}-{{\tan}}^{{2}}\alpha}}\right)}}^{{2}}}} \)

\( \displaystyle \frac{{{2}{\left(\frac{{{{\sin}}^{{2}}\alpha}}{{{{\cos}}^{{2}}\alpha}}\right)}}}{{\frac{{{{\cos}}^{{4}}\alpha+{{\sin}}^{{4}}\alpha}}{{{{\cos}}^{{4}}\alpha}}}}=\frac{{\frac{{{4}{{\tan}}^{{2}}\alpha}}{{{1}+{{\tan}}^{{4}}\alpha-{2}{{\tan}}^{{2}}\alpha}}}}{{{2}+{\left(\frac{{{4}{{\tan}}^{{2}}\alpha}}{{{1}+{{\tan}}^{{4}}\alpha-{2}{{\tan}}^{{2}}\alpha}}\right)}\right.}} \)

\( \displaystyle \frac{{{2}{{\sin}}^{{2}}\alpha}}{{{{\cos}}^{{2}}\alpha}}\cdot\frac{{{{\cos}}^{{4}}\alpha}}{{{{\cos}}^{{4}}\alpha+{{\sin}}^{{4}}\alpha}}=\frac{{\frac{{{4}{{\tan}}^{{2}}\alpha}}{{{1}+{{\tan}}^{{4}}\alpha-{2}{{\tan}}^{{2}}\alpha}}}}{{\frac{{{2}+{2}{{\tan}}^{{4}}\alpha-{4}{{\tan}}^{{2}}\alpha+{4}{{\tan}}^{{2}}\alpha}}{{{1}+{{\tan}}^{{4}}\alpha-{2}{{\tan}}^{{2}}\alpha}}}} \)

\( \displaystyle \frac{{{2}{{\sin}}^{{2}}\alpha{{\cos}}^{{2}}\alpha}}{{{{\cos}}^{{4}}\alpha+{{\sin}}^{{4}}\alpha}}=\frac{{{4}{{\tan}}^{{2}}\alpha}}{{{1}+{{\tan}}^{{4}}\alpha-{2}{{\tan}}^{{2}}\alpha}}\cdot\frac{{{1}+{{\tan}}^{{4}}\alpha-{2}{{\tan}}^{{2}}\alpha}}{{{2}+{2}{{\tan}}^{{4}}\alpha}} \)

\( \displaystyle \frac{{{2}{{\sin}}^{{2}}\alpha{{\cos}}^{{2}}\alpha}}{{{{\cos}}^{{4}}\alpha+{{\sin}}^{{4}}\alpha}}=\frac{{{2}{\left({2}{{\tan}}^{{2}}\alpha\right)}}}{{{2}{\left({1}+{{\tan}}^{{4}}\alpha\right)}}} \)

\( \displaystyle \frac{{{2}{{\sin}}^{{2}}\alpha{{\cos}}^{{2}}\alpha}}{{{{\cos}}^{{4}}\alpha+{{\sin}}^{{4}}\alpha}}=\frac{{{2}{\left(\frac{{{{\sin}}^{{2}}\alpha}}{{{{\cos}}^{{2}}\alpha}}\right)}}}{{\frac{{{{\cos}}^{{4}}\alpha+{{\sin}}^{{4}}\alpha}}{{{{\cos}}^{{4}}\alpha}}}} \)

\( \displaystyle \frac{{{2}{{\sin}}^{{2}}\alpha{{\cos}}^{{2}}\alpha}}{{{{\cos}}^{{4}}\alpha+{{\sin}}^{{4}}\alpha}}=\frac{{{2}{{\sin}}^{{2}}\alpha}}{{{{\cos}}^{{2}}\alpha}}\cdot\frac{{{{\cos}}^{{4}}\alpha}}{{{{\cos}}^{{4}}\alpha+{{\sin}}^{{4}}\alpha}} \)

\( \displaystyle \frac{{{2}{{\sin}}^{{2}}\alpha{{\cos}}^{{2}}\alpha}}{{{{\cos}}^{{4}}\alpha+{{\sin}}^{{4}}\alpha}}=\frac{{{2}{{\sin}}^{{2}}\alpha{{\cos}}^{{2}}\alpha}}{{{{\cos}}^{{4}}\alpha+{{\sin}}^{{4}}\alpha}} \)

CVD

[nato_pigro]

oddio... quanto ci hai messo a scriverle?

[Sheker]

15 minuti...

cmq se mi sapreste aiutare sarei felice

[Fioravante Patrone]

mi aspettavo questo tuo commento, nato_pigro

chiamo \( \displaystyle {x} \) la \( \displaystyle {\tan{\alpha}} \)
uso le formule di duplicazione per la tang come hai fatto tu

\( \displaystyle {\frac{{{2}{{x}}^{{2}}}}{{{1}+{{x}}^{{4}}}}}={\frac{{{{\left({\frac{{{2}{x}}}{{{1}-{{x}}^{{2}}}}}\right)}}^{{2}}}}{{{2}+{{\left({\frac{{{2}{x}}}{{{1}-{{x}}^{{2}}}}}\right)}}^{{2}}}}} \)

svolgo i conti a dx, semplificando numer e denom per \( \displaystyle {{\left({1}-{{x}}^{{2}}\right)}}^{{2}} \)

\( \displaystyle {\frac{{{4}{{x}}^{{2}}}}{{{2}{{\left({1}-{{x}}^{{2}}\right)}}^{{2}}+{4}{{x}}^{{2}}}}}={\frac{{{4}{{x}}^{{2}}}}{{{2}{\left({1}-{2}{{x}}^{{2}}+{{x}}^{{4}}\right)}+{4}{{x}}^{{2}}}}}={\frac{{{4}{{x}}^{{2}}}}{{{2}-{4}{{x}}^{{2}}+{2}{{x}}^{{4}}+{4}{{x}}^{{2}}}}}={\frac{{{4}{{x}}^{{2}}}}{{{2}+{2}{{x}}^{{4}}}}}={\frac{{{2}{{x}}^{{2}}}}{{{1}+{{x}}^{{4}}}}} \)

CVD

e complimenti per la voglia di lavorare!
ciao

[Sheker]

Fioravante, sinceramente non ho capito bene ciò che intendi
cmq ho trovato un errore

[Fioravante Patrone]

dimmi cosa non ti è chiaro

questo?

chiamo \( \displaystyle {x} \) la \( \displaystyle {\tan{\alpha}} \)

o questo?

uso le formule di duplicazione per la tang come hai fatto tu

oppure qui?

\( \displaystyle {\frac{{{2}{{x}}^{{2}}}}{{{1}+{{x}}^{{4}}}}}={\frac{{{{\left({\frac{{{2}{x}}}{{{1}-{{x}}^{{2}}}}}\right)}}^{{2}}}}{{{2}+{{\left({\frac{{{2}{x}}}{{{1}-{{x}}^{{2}}}}}\right)}}^{{2}}}}} \)

ultima chance, qui?

svolgo i conti a dx, semplificando numer e denom per \( \displaystyle {{\left({1}-{{x}}^{{2}}\right)}}^{{2}} \)

\( \displaystyle {\frac{{{4}{{x}}^{{2}}}}{{{2}{{\left({1}-{{x}}^{{2}}\right)}}^{{2}}+{4}{{x}}^{{2}}}}}={\frac{{{4}{{x}}^{{2}}}}{{{2}{\left({1}-{2}{{x}}^{{2}}+{{x}}^{{4}}\right)}+{4}{{x}}^{{2}}}}}={\frac{{{4}{{x}}^{{2}}}}{{{2}-{4}{{x}}^{{2}}+{2}{{x}}^{{4}}+{4}{{x}}^{{2}}}}}={\frac{{{4}{{x}}^{{2}}}}{{{2}+{2}{{x}}^{{4}}}}}={\frac{{{2}{{x}}^{{2}}}}{{{1}+{{x}}^{{4}}}}} \)

[Sheker]

Non ho capito che significa semplificazione al denominatore, numeratore

(cmq l'ho risolta, ma mi piacerebbe capire lo stesso )

[Fioravante Patrone]

\( \displaystyle {\frac{{{{\left({\frac{{{2}{x}}}{{{1}-{{x}}^{{2}}}}}\right)}}^{{2}}}}{{{2}+{{\left({\frac{{{2}{x}}}{{{1}-{{x}}^{{2}}}}}\right)}}^{{2}}}}}= \)
\( \displaystyle ={\frac{{{\frac{{{4}{{x}}^{{2}}}}{{{{\left({1}-{{x}}^{{2}}\right)}}^{{2}}}}}}}{{{\frac{{{2}{{\left({1}-{{x}}^{{2}}\right)}}^{{2}}+{4}{{x}}^{{2}}}}{{{{\left({1}-{{x}}^{{2}}\right)}}^{{2}}}}}}}} \)



e qui semplifico numeratore e denominatore per \( \displaystyle {\frac{{{1}}}{{{{\left({1}-{{x}}^{{2}}\right)}}^{{2}}}}} \)

(ero stato troppo affrettato, dicendo che semplificavo per \( \displaystyle {{\left({1}-{{x}}^{{2}}\right)}}^{{2}} \), pensavo si capisse lo stesso)


un commento: una volta usata la formula di duplicazione, ti trovi solo con la \( \displaystyle {\tan{\alpha}} \) e quindi valeva la pena di povare a seguire la "mia" strada, senza pasare a seni e coseni
per lo meno, io ho fatto così per questa ragione

ciao

[Sheker]

Si lo so, ma mi sa meglio cosi dato che sono alle prime armi di goniometria, quindi alleno un po la mente a questi passaggi


grazie mille!!

(domani mattina posto un'altra cosa che non ho capito, per ora NOTTE A TUTTI!!)