Funzioni iniettiva/suriettiva

[smartmouse]

Salve, sto cercando di capire come si fa un esercizio del genere descritto in oggetto. Prima però voglio chiedervi una cosa: come arrivo a trovare se x = y nella seguente equazione?


\( \displaystyle {{x}}^{{2}}+{3}{x}-{10}={{y}}^{{2}}+{3}{y}-{10} \)

\( \displaystyle {{x}}^{{2}}+{3}{x}={{y}}^{{2}}+{3}{y} \)

\( \displaystyle {x}{\left({x}+{3}\right)}={y}{\left({y}+{3}\right)} \)

\( \displaystyle {\frac{{{x}}}{{{{\left({x}+{3}\right)}}^{{-{1}}}}}}={\frac{{{y}}}{{{{\left({y}+{3}\right)}}^{{-{1}}}}}} \)

\( \displaystyle {\frac{{{x}+{3}}}{{{{x}}^{{-{1}}}}}}={\frac{{{y}+{3}}}{{{{y}}^{{-{1}}}}}} \)

\( \displaystyle {\frac{{{x}+{3}}}{{{{x}}^{{-{1}}}}}}-{\frac{{{y}+{3}}}{{{{y}}^{{-{1}}}}}}={0} \)

\( \displaystyle {\frac{{{\left({x}+{3}\right)}{{y}}^{{-{1}}}-{\left({y}+{3}\right)}{{x}}^{{-{1}}}}}{{{{x}}^{{-{1}}}{{y}}^{{-{1}}}}}}={0} \)

\( \displaystyle {\left({x}+{3}\right)}{{y}}^{{-{1}}}-{\left({y}+{3}\right)}{{x}}^{{-{1}}}={0} \)


E adesso??? Come si procede?
Se continuo a svolgerlo torno all'espressione iniziale!

[smartmouse]

Qualcuno mi aiuti!

[GundamRX91]

Mi trovo in difficoltà nel "vedere" la funzione.... quali sono il dominio e il codominio?

[Gi8]

Direi che la funzione è \( \displaystyle {f{{\left({x}\right)}}}={{x}}^{{2}}+{3}{x}-{10} \)
Ora, se \( \displaystyle {f{:}}\mathbb{R}\to\mathbb{R} \) è abbastanza immediato notare che la funzione non è iniettiva nè suriettiva

[smartmouse]

No, la funzione è:

\( \displaystyle {f{:}}{x}\in\mathbb{Q}\Rightarrow{{x}}^{{2}}+{3}{x}-{10}\in\mathbb{Q} \)

per la quale bisogna determinare:

i) \( \displaystyle {f{{\left({\left\lbrace-{5},-{3},{0},{\frac{{{1}}}{{{2}}}},{\frac{{{3}}}{{{2}}}},{2}\right\rbrace}\right)}}} \)

ii) \( \displaystyle {{f}}^{{-{1}}}{\left({\left\lbrace-{10},{0},{\frac{{{2}}}{{{3}}}},{4},{8}\right\rbrace}\right)} \)

e poi stabilire se f è iniettiva e suriettiva.

[GundamRX91]

Ok, hai calcolato il valore della funzione per i valori dati? E' hai determinato la funzione inversa? Inoltre qual'è la condizione necessaria e sufficiente affinché una funzione sia iniettiva e/o suriettiva?

[smartmouse]

Ok, hai calcolato il valore della funzione per i valori dati?

Si, ottengo:

\( \displaystyle {\left({0},-{10},-{10},-{\frac{{{33}}}{{{4}}}},-{\frac{{{13}}}{{{4}}}},{0}\right)} \)

E' hai determinato la funzione inversa?

Come si fa?
Ho provato a porre l'equzione di partenza uguale a ciascuno dei valori di \( \displaystyle {\left({{f}}^{{-{1}}}\right)} \) ma riesco a trovare un paio di numeri perchè li vedo dai valori ottenuti prima, ma per gli altri come si fa? O meglio, in generale come si determinano?

Inoltre qual'è la condizione necessaria e sufficiente affinché una funzione sia iniettiva e/o suriettiva?

E' iniettiva se ad ogni elemento del codominio corrisponde massimo un elemento del dominio; è suriettiva quando il codominio contiene soltanto elementi che sono immagine del dominio...

[GundamRX91]

Quelle sono le definizioni di funzione iniettiva e suriettiva, che formalizzate sono:

funzione iniettiva \( \displaystyle \forall{a}_{{1}},{a}_{{2}}\in{A},{a}_{{1}}\ne{a}_{{2}}\Rightarrow{f{{\left({a}_{{1}}\right)}}}\ne{f{{\left({a}_{{2}}\right)}}} \)
funzione suriettiva \( \displaystyle \forall{b}\in{B},\exists{a}\in{A}{\mid}{b}={f{{\left({a}\right)}}} \)

invece condizione necessaria e sufficiente affinché una funzione sia iniettiva è che ammetta inversa sinistra, ossia:

\( \displaystyle \exists{g{:}}{B}\to{A} \) tale che \( \displaystyle {g{\circ}}{f{=}}{1}_{{a}} \)

e condizione necessaria e sufficiente affinché una funzione sia suriettiva è che ammetta inversa destra, ossia:

\( \displaystyle \exists{g{:}}{B}\to{A} \) tale che \( \displaystyle {f{\circ}}{g{=}}{1}_{{b}} \)

Per la funzione inversa hai che se \( \displaystyle {y}={f{{\left({x}\right)}}}\Rightarrow{x}={f{{\left({y}\right)}}} \)

[smartmouse]

la funzione è:

\( \displaystyle {f{:}}{x}\in\mathbb{Q}\Rightarrow{{x}}^{{2}}+{3}{x}-{10}\in\mathbb{Q} \)

per la quale bisogna determinare:

i) \( \displaystyle {f{{\left({\left\lbrace-{5},-{3},{0},{\frac{{{1}}}{{{2}}}},{\frac{{{3}}}{{{2}}}},{2}\right\rbrace}\right)}}} \)

ii) \( \displaystyle {{f}}^{{-{1}}}{\left({\left\lbrace-{10},{0},{\frac{{{2}}}{{{3}}}},{4},{8}\right\rbrace}\right)} \)

e poi stabilire se f è iniettiva e suriettiva.

Ok, hai calcolato il valore della funzione per i valori dati? E' hai determinato la funzione inversa?

Si, eccole:


\( \displaystyle {f{{\left({x}\right)}}}={\left\lbrace{0},-{10},-{\frac{{{33}}}{{{4}}}},-{\frac{{{13}}}{{{4}}}}\right\rbrace} \)

\( \displaystyle {{f}}^{{-{1}}}{\left({x}\right)}={\left\lbrace{0},-{3},-{5},{2}\right\rbrace} \)


Ora devo stabilire se è iniettiva, ovvero che f(x) = f(y) e che quindi x=y e procedo in questo modo (come mostrato nel primo post):

\( \displaystyle {{x}}^{{2}}+{3}{x}-{10}={{y}}^{{2}}+{3}{y}-{10} \)

\( \displaystyle {{x}}^{{2}}+{3}{x}={{y}}^{{2}}+{3}{y} \)

\( \displaystyle {x}{\left({x}+{3}\right)}={y}{\left({y}+{3}\right)} \)

\( \displaystyle {\frac{{{x}}}{{{{\left({x}+{3}\right)}}^{{-{1}}}}}}={\frac{{{y}}}{{{{\left({y}+{3}\right)}}^{{-{1}}}}}} \)

\( \displaystyle {\frac{{{x}+{3}}}{{{{x}}^{{-{1}}}}}}={\frac{{{y}+{3}}}{{{{y}}^{{-{1}}}}}} \)

\( \displaystyle {\frac{{{x}+{3}}}{{{{x}}^{{-{1}}}}}}-{\frac{{{y}+{3}}}{{{{y}}^{{-{1}}}}}}={0} \)

\( \displaystyle {\frac{{{\left({x}+{3}\right)}{{y}}^{{-{1}}}-{\left({y}+{3}\right)}{{x}}^{{-{1}}}}}{{{{x}}^{{-{1}}}{{y}}^{{-{1}}}}}}={0} \)

\( \displaystyle {\left({x}+{3}\right)}{{y}}^{{-{1}}}-{\left({y}+{3}\right)}{{x}}^{{-{1}}}={0} \)

Ma non riesco ad arrivare x=y... come si fa?



PS: Scusate il leggero ritardo nel rispondere! Ho ripreso da dove avevo lasciato soltanto in questo periodo perchè sono stato occupato per lavoro.

Grazie a chi vorrà aiutarmi!