generatori del gruppo simmetrico

[angus89]

Non riesco a dimostrare il seguente risultato

Una qualsiasi trasposione e un qualsiasi p-ciclo generano \( \displaystyle {S}_{{p}} \)

Ho fatto vari tentativi ma portano da nessuna parte...

[Martino]

Naturalmente intendi che \( \displaystyle p \) e' primo, vero? Altrimenti e' falso (basta prendere \( \displaystyle p=4 \) e \( \displaystyle (13) \) , \( \displaystyle (1234) \) , che generano un \( \displaystyle 2 \) -Sylow di \( \displaystyle S_4 \) ).

Chiama \( \displaystyle \tau \) la tua trasposizione e \( \displaystyle g \) il \( \displaystyle p \) -ciclo.

Supponi che \( \displaystyle \tau=(12) \) (puoi assumerlo, a meno di cambiare nome ai simboli). Se \( \displaystyle p \) e' primo e \( \displaystyle g \) e' un \( \displaystyle p \) -ciclo allora esiste una potenza di \( \displaystyle g \) che manda 1 in 2 (perche' \( \displaystyle p \) e' primo), quindi puoi assumere che \( \displaystyle g=(12...p) \) (ogni potenza non banale di \( \displaystyle g \) e' un \( \displaystyle p \) -ciclo, essendo \( \displaystyle p \) primo).

Ora si tratta quindi di mostrare che \( \displaystyle \tau=(12) \) e \( \displaystyle g=(12...p) \) generano \( \displaystyle S_p \) . Non e' difficile.

[angus89]

Si effettivamente p primo. Comunque fin qui ci ero arrivato, ma non riesco a concludere proprio che \( \displaystyle {\left({12}\right)} \) e \( \displaystyle {\left({12}\ldots{p}\right)} \) Generano \( \displaystyle {S}_{{p}} \).
All'inizio ho pensato di ragionare per cardinalita', ovvero cercare di determinare quanto e' grande il gruppo generato da questi due elementi, ma non riesco ad arrivare a \( \displaystyle {p}! \), poi ho pensato di mostrare che tutte le trasposizioni sono generate, ma anche questo nulla. Non mi riesce proprio...

[Martino]

Detti \( \displaystyle \tau=(12) \) e \( \displaystyle g=(12...p) \) considera i coniugati \( \displaystyle \tau^{g^n}=g^{-n} \tau g^n \) .