generatori

[natia88]

mi è sorto un dubbio... come mai 7 non può essere considerato generatore di (Z/11Z)* ?

[Lord K]

In teoria un generatore di \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{n}} \) è un numero \( \displaystyle {g{\in}}\mathbb{Z}_{{n}} \) tale che \( \displaystyle {\gcd{{\left({g},{n}\right)}}}={1} \), nel tuo caso \( \displaystyle {7} \) genera necessariamente \( \displaystyle {Z}_{{11}} \) anche perchè se guardi:

\( \displaystyle {{7}}^{{1}}={7} \)
\( \displaystyle {{7}}^{{2}}={49}\equiv{5}{\left({11}\right)} \)
\( \displaystyle {{7}}^{{3}}={343}\equiv{2}{\left({11}\right)} \)
\( \displaystyle {{7}}^{{4}}\equiv{3}{\left({11}\right)} \)
\( \displaystyle {{7}}^{{5}}\equiv{10}{\left({11}\right)} \)
\( \displaystyle {{7}}^{{6}}\equiv{4}{\left({11}\right)} \)
\( \displaystyle {{7}}^{{7}}\equiv{6}{\left({11}\right)} \)
\( \displaystyle {{7}}^{{8}}\equiv{9}{\left({11}\right)} \)
\( \displaystyle {{7}}^{{9}}\equiv{8}{\left({11}\right)} \)
\( \displaystyle {{7}}^{{10}}\equiv{1}{\left({11}\right)} \)
\( \displaystyle {{7}}^{{11}}\equiv{7}{\left({11}\right)} \)

Sono tutti!

[Martino]

In teoria un generatore di \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{n}} \) è un numero \( \displaystyle {g{\in}}\mathbb{Z}_{{n}} \) tale che \( \displaystyle {\gcd{{\left({g},{n}\right)}}}={1} \)

Certo, ma considera che natia88 parlava del gruppo moltiplicativo \( \displaystyle {\left(\mathbb{Z}\//{n}\mathbb{Z}\right)} \)*, che non sempre e' ciclico, e se e' ciclico i generatori non sono gli elementi coprimi con \( \displaystyle {n} \). Per esempio in \( \displaystyle \mathbb{Z}\//{11}\mathbb{Z} \) l'elemento \( \displaystyle {10} \) e' coprimo con \( \displaystyle {11} \) ma non e' un generatore del gruppo moltiplicativo \( \displaystyle {\left(\mathbb{Z}\//{11}\mathbb{Z}\right)} \)* (ha ordine 2).

[Lord K]

Mi sa che mi sono perso il \( \displaystyle \cdot \)....

[Paolo90]

Mi sa che mi sono perso il \( \displaystyle \cdot \)....

Ma non c'era il segno dell'operazione; penso però che Martino abbia dedotto che si trattava del gruppo moltiplicativo perchè il supporto è \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{11}} \)* (asterisco = togli lo zero). E questo insieme è un gruppo rispetto all'operazione di moltiplicazione, ma non rispetto alla somma (non c'è elem neutro rispetto alla somma).

Dico bene, caro Martino?

Grazie.

[Martino]

Si Paolo dici bene! Di solito con (Z/nZ)* si indica il gruppo (rispetto alla moltiplicazione) degli elementi invertibili di Z/nZ.
Lord K, mi sembra strano che tu ti sia perso il * perche' hai elencato le potenze moltiplicative, non quelle additive (per potenze additive intendo i multipli).

[Lord K]

Si Paolo dici bene! Di solito con (Z/nZ)* si indica il gruppo (rispetto alla moltiplicazione) degli elementi invertibili di Z/nZ.
Lord K, mi sembra strano che tu ti sia perso il * perche' hai elencato le potenze moltiplicative, non quelle additive (per potenze additive intendo i multipli).

Nella soluzione c'ero ed avevo visto il * ma nella specifica da te detta me l'ero perso nel senso che non ricordavo il particolare da te gentilmente puntualizzato

[natia88]

ma in tutto ciò ancora non mi è chiara la soluzione...

[Martino]

ma in tutto ciò ancora non mi è chiara la soluzione...

Usa le meningi