Generatori

[carlo23]

Posto questo problema che è sorto nel post "UNIVERSITà\Deliri matematici", ma che è più adatto
a "GIOCHI LOGICO-MATEMATICI E GARA"

La funzione \( \displaystyle {l}_{{a}}{\left({n}\right)} \), con \( \displaystyle {a} \) intero dispari, è uguale a 1 se \( \displaystyle {2}{n} \) divide \( \displaystyle {{a}}^{{n}}-{1} \), altrimenti è uguale a 0.

è stato dimostrato che se \( \displaystyle {l}_{{a}}{\left({k}\right)}={1} \) e \( \displaystyle {l}_{{a}}{\left({h}\right)}={1} \) allora \( \displaystyle {l}_{{a}}{\left({k}{h}\right)}={1} \).
Si definisce "generatore" di \( \displaystyle {a} \) un intero \( \displaystyle {g} \) tale che \( \displaystyle {l}_{{a}}{\left({g}\right)}={1} \) e che non esistano due interi \( \displaystyle {j}\gt{1} \) e \( \displaystyle {w}\gt{1} \) tali
che \( \displaystyle {g{=}}{j}{w} \) e \( \displaystyle {l}_{{a}}{\left({j}\right)}={1} \) e \( \displaystyle {l}_{{a}}{\left({w}\right)}={1} \).
Da ciò segue che ogni intero \( \displaystyle {b} \) tale che \( \displaystyle {l}_{{a}}{\left({b}\right)}={1} \) è un generatore di \( \displaystyle {a} \) oppure il prodotto di più genetatori
di \( \displaystyle {a} \).

Il problema è il seguente dato \( \displaystyle {a} \), l'insieme dei generatori di \( \displaystyle {a} \) è infinito?

[Mistral]

Posto questo problema che è sorto nel post "UNIVERSITà\Deliri matematici", ma che è più adatto
a "GIOCHI LOGICO-MATEMATICI E GARA"

La funzione \( \displaystyle {l}_{{a}}{\left({n}\right)} \), con \( \displaystyle {a} \) intero dispari, è uguale a 1 se \( \displaystyle {2}{n} \) divide \( \displaystyle {{a}}^{{n}}-{1} \), altrimenti è uguale a 0.

è stato dimostrato che se \( \displaystyle {l}_{{a}}{\left({k}\right)}={1} \) e \( \displaystyle {l}_{{a}}{\left({h}\right)}={1} \) allora \( \displaystyle {l}_{{a}}{\left({k}{h}\right)}={1} \).
Si definisce "generatore" di \( \displaystyle {a} \) un intero \( \displaystyle {g} \) tale che \( \displaystyle {l}_{{a}}{\left({g}\right)}={1} \) e che non esistano due interi \( \displaystyle {j}\gt{1} \) e \( \displaystyle {w}\gt{1} \) tali
che \( \displaystyle {g{=}}{j}{w} \) e \( \displaystyle {l}_{{a}}{\left({j}\right)}={1} \) e \( \displaystyle {l}_{{a}}{\left({w}\right)}={1} \).
Da ciò segue che ogni intero \( \displaystyle {b} \) tale che \( \displaystyle {l}_{{a}}{\left({b}\right)}={1} \) è un generatore di \( \displaystyle {a} \) oppure il prodotto di più genetatori
di \( \displaystyle {a} \).

Il problema è il seguente dato \( \displaystyle {a} \), l'insieme dei generatori di \( \displaystyle {a} \) è infinito?

Ricordo un risultato classico che può aiutare.Per \( \displaystyle {p} \) primo:

\( \displaystyle {M}{C}{D}{\left(\frac{{{{x}}^{{p}}-{1}}}{{{x}-{1}}},{x}-{1}\right)}={1}{\quad\text{or}\quad}{p} \) inoltre se \( \displaystyle {p}{\mid}{x}-{1} \) allora \( \displaystyle {p}{\mid}\frac{{{{x}}^{{p}}-{1}}}{{{x}-{1}}}\wedge\neg{\left({{p}}^{{2}}{\mid}\frac{{{{x}}^{{p}}-{1}}}{{{x}-{1}}}\right)} \)

da questo si dovrebbe poter ricavare qualcosa ci penso su...

Saluti

Mistral

[Mistral]

Il numero di generatori primi è finito, infatti per il piccolo teorema di Fermat si ha che \( \displaystyle {p}{\left|{\left({a}-{1}\right)}\Leftrightarrow{p}\right|}{\left({{a}}^{{p}}-{1}\right)} \). Quindi i generatori primi per il teorema che ho enunciato nel precedente post sono esattamente i divisori primi di \( \displaystyle {a}-{1} \).

Più in generale si dimostra che:

\( \displaystyle {M}{C}{D}{\left(\frac{{{{a}}^{{n}}-{1}}}{{{a}-{1}}},{a}-{1}\right)}={M}{C}{D}{\left({n},{a}-{1}\right)} \)

quindi se \( \displaystyle {M}{C}{D}{\left({n},{a}-{1}\right)}={1} \) e \( \displaystyle {n}{\mid}{{a}}^{{n}}-{1} \) allora \( \displaystyle {n}{\mid}\frac{{{{a}}^{{n}}-{1}}}{{{a}-{1}}} \).

Segue che l'esistenza di infiniti generatori richiederebbe l'esistenza di infinti interi \( \displaystyle {n} \) coprimi con \( \displaystyle {a}-{1} \) per cui \( \displaystyle {n}{\mid}\frac{{{{a}}^{{n}}-{1}}}{{{a}-{1}}} \). Non so ancora valutare se dimostrare l'impossbilità di questo fatto è banale o meno. Sicuramente non esistono primi che la possono soddisfare.

Buon Natale

Mistral

[carlo23]

Grazie Mistral, vedo che te ne intendi.

Sono contento che questo problema non sia stato lasciato sprofondare nell'abisso dei post senza risposta...

Ciao, ciao!