geometria affine (combinazioni affini e affinità)

[angus89]

Allora avrei due domande.
Sia \( \displaystyle {V} \) uno spazio vettoriale sul campo \( \displaystyle {K} \)
Sia \( \displaystyle {A} \) uno spazio affine su \( \displaystyle {V} \)

1- \( \displaystyle {a},{b},{p}\in{A} \) allora, è possibile affermare \( \displaystyle {a}+{b}={p}+{\vec{{{p}{a}}}}+{\vec{{{p}{b}}}} \) ?


2- Sia \( \displaystyle {f{:}}{A}\to{A} \) un'affinità. Sappiamo che una condizione necessaria affinche \( \displaystyle {f} \) sia un'affinità è che \( \displaystyle {f} \) deve mandare spazi paralleli in spazi paralleli, spazi incidenti in spazi incidenti e punti di intersezione in punti di intersezione.
Questa condizione è anche sufficiente (credo di si)...e come dimostrarlo?

[angus89]

Non mi sembra il caso di aprire un altro topic dato che l'altra domanda è inerente all'argomento.
Dato che ho notato che l'affine non piace a nessuno (o per lo meno su internet c'è pochissima teoria) espicito prima alcuni concetti base, come ci son stati definiti.

CONCETTI
Sia \( \displaystyle {A} \) e \( \displaystyle {B} \) due spazi affini rispettivamente su \( \displaystyle {V} \) e \( \displaystyle {w} \) (spazio vettoriale)
consideriamo \( \displaystyle {f{:}}{A}\to{B} \), questa è una applicazione affine se vale una di queste due (che sono equivalenti)

1- \( \displaystyle {f{{\left({x}_{{1}}{a}_{{1}}+\ldots+{x}_{{k}}{a}_{{k}}\right)}}}={x}_{{1}}{f{{\left({a}_{{1}}\right)}}}+\ldots+{x}_{{k}}{f{{\left({a}_{{k}}\right)}}} \) .................. \( \displaystyle \forall{x}_{{i}}\in{K} \) \( \displaystyle \forall{a}_{{i}}\in{A} \)



2 - fissato \( \displaystyle {a}_{{0}} \) esiste un'unica \( \displaystyle \phi:{V}\to{W} \) lineare tale che
\( \displaystyle {f{{\left({a}\right)}}}={f{{\left({a}_{{0}}\right)}}}+\phi_{{{a}_{{0}}}}{\left({\vec{{{a}_{{0}}{a}}}}\right)} \)
dove \( \displaystyle \phi_{{{a}_{{0}}}}{\left({v}\right)}={\vec{{{f{{\left({a}_{{0}}\right)}}}{f{{\left({a}_{{0}}+{v}\right)}}}}}} \)

Bè La mia domanda è: Se cambio il punto di riferimeno \( \displaystyle {a}_{{0}} \) con \( \displaystyle {a}_{{1}} \) l'applicazione lineare cambia?
Nel senso, vale \( \displaystyle \phi_{{{a}_{{0}}}}{\left({v}\right)}=\phi_{{{a}_{{1}}}}{\left({v}\right)} \) ......................\( \displaystyle \forall{v}\in{V} \)?

Anche se penso di no, paradossalmente mi viene quello come risultato.
Infatti in un esercizio mi vien chiesto di dimostrare che
\( \displaystyle \phi_{{{a}_{{1}}}}{\left({v}\right)}=\phi_{{{a}_{{0}}}}{\left({\vec{{{a}_{{0}}{a}_{{1}}}}}+{v}\right)}-{\vec{{{f{{\left({a}_{{0}}\right)}}}{f{{\left({a}_{{1}}\right)}}}}}} \)

osserviamo che dalla definizione segue
\( \displaystyle \phi_{{{a}_{{0}}}}{\left({\vec{{{a}_{{0}}{a}_{{1}}}}}\right)}={\vec{{{f{{\left({a}_{{0}}\right)}}}{f{{\left({a}_{{0}}+{\vec{{{a}_{{0}}{a}_{{1}}}}}\right)}}}}}}={\vec{{{f{{\left({a}_{{0}}\right)}}}{f{{\left({a}_{{1}}\right)}}}}}} \)

per linearità
\( \displaystyle \phi_{{{a}_{{0}}}}{\left({\vec{{{a}_{{0}}{a}_{{1}}}}}+{v}\right)}=\phi_{{{a}_{{0}}}}{\left({\vec{{{a}_{{0}}{a}_{{1}}}}}\right)}+\phi_{{{a}_{{0}}}}{\left({v}\right)}={\vec{{{f{{\left({a}_{{0}}\right)}}}{f{{\left({a}_{{1}}\right)}}}}}}+\phi_{{{a}_{{0}}}}{\left({v}\right)} \)

Sintetizzando
\( \displaystyle \phi_{{{a}_{{0}}}}{\left({\vec{{{a}_{{0}}{a}_{{1}}}}}+{v}\right)}={\vec{{{f{{\left({a}_{{0}}\right)}}}{f{{\left({a}_{{1}}\right)}}}}}}+\phi_{{{a}_{{0}}}}{\left({v}\right)} \)

Ma sostituendo quest'ultima nell'esercizio che chiede di dimostrare
\( \displaystyle \phi_{{{a}_{{1}}}}{\left({v}\right)}=\phi_{{{a}_{{0}}}}{\left({\vec{{{a}_{{0}}{a}_{{1}}}}}+{v}\right)}-{\vec{{{f{{\left({a}_{{0}}\right)}}}{f{{\left({a}_{{1}}\right)}}}}}} \)

otteniamo esattamente
\( \displaystyle \phi_{{{a}_{{0}}}}{\left({v}\right)}=\phi_{{{a}_{{1}}}}{\left({v}\right)} \)



Ok se questa cosa è vera ho finito l'esercizio, se non lo è ci son dei grossi problemi.

Spero che qualcuno abbia avuto la pazienza e il coraggio di leggere.
grazie

[killing_buddha]

1- \( \displaystyle {a},{b},{p}\in{A} \) allora, è possibile affermare \( \displaystyle {a}+{b}={p}+{\vec{{{p}{a}}}}+{\vec{{{p}{b}}}} \) ?

La domanda non ha senso, perchè non ha senso una "somma di punti", a meno che tu non intenda quella baricentrica. Ma forse non ho capito, spiegati meglio. Per il resto,
\( \displaystyle {P}+{\vec{{{P}{A}}}}={A} \)
per definizione di azione dello spazio \( \displaystyle {V} \) sui punti di \( \displaystyle {A} \), e da ciò segue che \( \displaystyle {A}+{\vec{{{P}{B}}}} \) non è (o almeno, non sembra obbligato ad essere) legato a \( \displaystyle {B} \).

[angus89]

ovviamente mi riferisco alla somma baricentrica (è una combinazione affine \( \displaystyle {1}{a}+{1}{b} \))

[angus89]

ecco comuque qui è scritto per bene il ragionamento fatto nel precedente post
http://img200.imageshack.us/img200/8901/affine.jpg