Geometria algebrica( mappa canonica)

[alberto86]

Salve di questo esercizio non so dove mettere le mani per fare i punti da c) a f) mi aiutate??

Sia \( \displaystyle {C} \) la superficie di Riemann associata alla curva di equazione \( \displaystyle {{y}}^{{3}}={{x}}^{{5}}-{1} \) realizzata come rivestimento ramificato sulla "x-sfera" \( \displaystyle \pi:{C}\rightarrow{{P}}^{{1}} \) \( \displaystyle {\left[{X};{Y};{Z}\right]}\rightarrow{\left[{X};{Z}\right]} \). Posto \( \displaystyle {p}={\pi}^{{-{1}}}{\left(\infty\right)} \) e \( \displaystyle {r}_{{i}}={\left(\eta_{{i}},{0}\right)} \) con \( \displaystyle \eta_{{i}}={{e}}^{{{\frac{{{2}\pi{i}}}{{{5}}}}}} \) si chiede di:
a) trovare il divisore di ramificazione di \( \displaystyle \pi \) e calcolare il genere di \( \displaystyle {C} \) (e questo è facile con Hurwitz)
b) stabilire le equivalenze lineari \( \displaystyle {3}{p} \) \( \displaystyle {\tilde} \) \( \displaystyle {3}{r}_{{i}} \) e \( \displaystyle {\sum_{{{i}={0}}}^{{4}}}{r}_{{i}} \) \( \displaystyle {\tilde{{5}}}{p} \)
c) determinare lo spazio dei differenziali olomorfi su C \( \displaystyle {{H}}^{{0}}{\left({C},{K}\right)} \) (il suggerimento è di trovare \( \displaystyle {L}{\left({D}\right)} \) con \( \displaystyle {D}={\left({\left.{d}{x}\right.}\right)} \) ma non so come)
d) (e questa è la parte che più mi interessa) descrivere la mappa canonica \( \displaystyle \phi_{{K}}:{C}\rightarrow{{P}}^{{3}} \) e determinare le equazioni della sua immagine
e) usando c) mostrare che per \( \displaystyle {D}={\sum_{{{i}={0}}}^{{4}}}{r}_{{i}} \) si ha \( \displaystyle {{h}}^{{0}}{\left({C},{K}{\left(-{D}\right)}\right)}={1} \). Usando Riemann-Roch concludere che \( \displaystyle {r}{\left({D}\right)}\:={{h}}^{{0}}{\left({C},{O}{\left({D}\right)}\right)}-{1}={2} \) e usando la residuazione determinare il sistema lineare completo \( \displaystyle {\left|{D}\right|} \)
f) per \( \displaystyle {E}={3}{p} \) mostrare che \( \displaystyle {\left|{E}\right|} \) è l'unico \( \displaystyle {{g}_{{3}}^{{1}}} \) (cioè divisore di grado 3 con dim \( \displaystyle {\left|{E}\right|}={1} \) ) su C tale che \( \displaystyle {\left|{2}{E}\right|}={\left|{K}\right|} \)

grazie per l'aiuto e scusate per la lunghezza dell'esercizio