Giochi di carte.

[david_e]

E' una cosa un po' malata che mi e' venuta in mente qualche giorno fa: la domanda e' quanti sono i possibili giochi che si possono fare con le carte? Ovviamente ammettendo come giochi anche dei giochi classici coi punteggi semplicemente moltiplicati per un unico fattore abbiamo infiniti giochi, ma imponendo che i giochi siano veramente diversi (in un senso da precisare)?

Prendiamo 40 carte e p giocatori.

Detto:

r_p(x)

Un generico gioco di carte con p giocatori.

Si tratta di una funzione che associa ad ogni possibile combinazione di carte poste: sul tavolo, in mano ad ogni giocatore, nello spazio delle carte giocate da ciascun giocatore (in cui eventualmente si tenga conto dell'ordine in cui sono giocate) p punteggi distribuiti fra i giocatori. (un simbolico vettore x)

La funzione win(x;s) restituisce il numero del giocatore vincitore del gioco s data la configurazione delle carte x.

Poniamo la limitazione che s(x) e t(x) sono diversi sse:

win(x;s) ¬= win(x;t) per almeno un x.

Ovvero che se una certa combinazione di carte permette la vittoria al giocatore "a" col primo gioco la stessa non gli consente la vittoria col secondo gioco sse i due giochi sono diversi.

(In questo modo briscola coi punteggi raddoppiati non diventa un altro gioco.)

Infine chiamiamo U_p l'insieme di tutti i giochi di carte diversi che si possono fare con p giocatori e 40 carte (mi appello qui' all'assioma della scelta per poter scegliere fra gli infiniti giochi di carte quelli diversi)

Secondo voi U_p e' infinito? Si potrebbe calcolarne la cardinalita'?

Io non sono riuscito ad andare oltre questo definizioni nel tentativo di rispondere a questa mia (perversa) curiosita'... Ogni suggerimento, soluzione e' ben accetto (anche un eventuale cambiamento delle definizioni di partenza)...

[david_e]

Nulla eh?

Eppure non e' molto difficie. Io ho gia' una pseudo-soluzione, ma voglio aspettare a postarla per controllarla e per dare anche a voi il tempo di provare a risolvere questo problema.

Ogni soluzione, risultato potenzialemente utile, commento, insulto... sara' ben accetto....

[david_e]

Boh a sto' punto provo a postare la mia pseudo-soluzione. A voi giudicare se sia corretta o meno.

Prima di dare la "soluzione" (o meglio il mio tentativo di soluzione) diamo un paio di definizioni comode:

E' chiaro che lo spazio delle configurazioni (carte giocate dal giocatore l al turno p, nel mazzo, sul tavolo etc...) ha cardinalita' finita g.

Gioco senza vincitore:
Sia r(x) un gioco di carte a p giocatori e x una configurazione di partita non concessa dalle regole. Per prolungare r su tutto lo spazio delle configurazioni diciamo che r(x) assegna il punteggio 1 al tavolo e punteggi nulli a tutti i giocatori per questa combinazione.

Gioci n-simile:
Due giochi in cui il vincitore e' diverso soltanto per n configurazioni di carte, ma e' lo stesso negli altri casi si dicono n-simili.

Prendiamo ora un generico gioco r_p(x) a p giocatori e sia s una configurazione di carte. E' chiaro che si possono definire p giochi 1-simili a questo nella configurazione s assegnando la vittoria ai p-1 giocatori che non vincono con r_p(s) o dichiarando la combinazione s non regolare. (nel caso che s sia gia' irregolare per r si possono costruire p giochi 1-simili assegnando la vittoria ad un giocatore diverso per ciascun gioco). In totale abbiamo g*p giochi 1-simili ad r.

A questo punto mi appello nuovamente all'assioma della scelta per sostenere che esiste un insieme A_1 con un rappresentate per ciascuna classe di giochi 1-simili. Sia r(x) \in A_1. Ora presa una coppia di configurazioni s_1 e s_2 possiamo assegnare in p modi s_1 e in p modi s_2 in modo che r(x) e il gioco risultante siano 2-simili infatti abbiamo assegnato sia ad s_1 che ad s_2 un vincitore diverso da quello previsto per r(x). Quindi abbiamo per ogni coppia tra le \binom{g}{2} p^2 giochi 2-simili a r.

Possiamo a questo punto scegliere un rappresentante per ciascuna coppia di giochi 2 simili e creare A_2 e ragionare analogamente a sopra.

Poi iteriamo

In pratica abbiamo che nell'insieme A_n possiamo assegnare \binom{g}{n+1} configurazioni in p^{n+1} modi per ottenere tutti i giochi {n+1}-simili a un dato gioco r(x).

Ora abbiamo che U l'insieme di tutti i giochi e' t.c:

U = { r(x) } [unione]_{i=1}^g S_i(r(x))

Dove S_i(r(x)) e' l'insieme di tutti i giochi i-simili a r(x).

Quindi

card U = 1 + \sum_{i=1}^g \binom{g}{i} p^i = ( p + 1 )^g