Inauguro la mia presenza in questa sezione con un dubbio che da un po' mi disturba. Premetto che so poco-niente di teoria dei giochi.
Sto leggendo il libro "L'assassino degli scacchi e altri misteri matematici" di Bernoît Rittaud, che concilia guardacaso le mie due passioni - matematica e scacchi. Dopo il racconto "l'assassino degli scacchi" l'autore nell'appendice, volendo fornire un'argomentazione a favore del fatto che il gioco degli scacchi è "determinato", fornisce un semplice esempio di un gioco per cui esiste una strategia vincente per uno dei giocatori. Il gioco è il seguente (cito):
Bernoît Rittaud ha scritto:Un sacchetto contiene cinque biglie, ogni giocatore ne prende a turno una o due. Il giocatore A inizia e il vincitore è colui che prende la (o le) ultima/e biglia/e. Si tratta del cosiddetto gioco di Nim.
Viene costruito un grafo che illustra tutte le possibilità, quindi viene ridotto in virtù dell'esistenza di strategie vincenti, fino a designare A vincitore. Si tratta di un abbozzo della dimostrazione del più generale teorema di Zermelo e Von Neumann (stando a quanto leggo). L'autore poi riguardo tale teorema (che non conosco ma di cui posso ragionevolmente dedurre grosso modo l'enunciato a meno di terminologia) dice:
Bernoît Rittaud ha scritto:[...]la riduzione progressiva delle dimensioni del grafo funziona in realtà per qualsiasi gioco (sempre a patto che sia finito e senza ciclo). Tralasciamo la dimostrazione del caso generale, un po' tecnico, ma che non differisce, in sostanza, dal procedimento utilizzato nel nostro esempio. Per tutti i giochi, è possibile ridurre il grafo corrispondente a un solo vertice che designa un "vincitore obiettivo", cioè colui che è sicuro di vincere purché non commetta errori (nel nostro esempio si tratta del giocatore A, per altri giochi sarà il giocatore B). Non è molto difficile affinare lo studio per tenere conto della possibilità di partite che finiscono in parità.
e poi ancora:
Bernoît Rittaud ha scritto:Il gioco degli scacchi è un gioco finito e senza ciclo, con qualche sfumatura che ha dato adito a polemiche di secondaria importanza. Per questo gioco, quindi, esiste sia un "vincitore obiettivo" (i Bianchi o i Neri), sia un "risultato di parità obiettivo".
Le parti sottolineate sono quelle che mi disturbano (non si tratta di una coincidenza, le sottolineature sono mie ). Il procedimento di riduzione del grafo è bello e molto interessante e utile, non ci piove, ma l'esistenza del pareggio non complica le cose? Cosa si intende esattamente con "risultato di parità obiettivo"?
Se ho capito bene l'esistenza di un tale grafo per ogni gioco "finito e senza ciclo" (tra parentesi conoscete per caso le "sfumature" a cui la terza citazione fa riferimento?) assicura la presenza di una strategia ottimale per uno dei due giocatori, e quindi l'esistenza (mi azzardo a dirlo) di una "partita perfetta", ma non dice nulla riguardo al risultato di una tale partita.
Sempre riguardo la terza citazione, come fanno un vincitore obiettivo e un risultato di parità obiettivo a coesistere? Sono un po' confuso.
Inoltre, dove posso approfondire il concetto di "gioco finito e senza ciclo"?
Grazie a chi vorrà illuminarmi (o anche solo darmi un'idea)