Gioco matematico fra amici - SNS 1978 (Conferma soluzione)

[elios]

"Due amici A e B fanno questo gioco: quando uno dei due dice un numero intero positivo, l'altro lo dimezza se è pari, mentre gli toglie uno se è dispari. Vince chi pronuncia il numero 1. (Esempio: A dice 18, B risponde 9, A risponde 8, B con 4, A e con 2 e B dice 1: B vince in 6 colpi) Il giocatore A comincia il gioco scegliendo un numero maggiore di 30.000 e minore di 31.000.
Quale scelta deve fare se vuole vincere nel minimo numero di colpi?"

Vince comunque quello che deve rispondere al numero 2, quindi A deve fare in modo che sia B a pronunciare il numero 2.
A questo punto, è chiaro che il minor numero di colpi si ha per una discesa più "ripida" dei numeri, che ovviamente è data dal dimezzare i numeri piuttosto che togliere uno. Quindi la discesa più rapida si ha se il numero iniziale fosse una potenza di 2. Ma non ci sono potenze di 2 comprese fra 30.000 e 31.000..
Perciò, io ho ipotizzato che la discesa più rapida di numeri sia data da un numero del tipo \( \displaystyle {{2}}^{{k}}\cdot{h} \), con \( \displaystyle {k} \) massimo e \( \displaystyle {h} \) minimo. Il risultato che ottengo è \( \displaystyle {{2}}^{{{11}}}\cdot{15}={2048}\cdot{15}={30.720} \). Infatti dopo 11 mosse si è già arrivati a 15, e dopo altre 6 si è arrivati ad 1. Siccome inizia A e vuole vincere, lui dovrà partire con 30.721
Infatti:
\( \displaystyle {A}\to{30.721} \)
\( \displaystyle {B}\to{30.720} \)
\( \displaystyle {A}\to{15.360} \)
\( \displaystyle {B}\to{7.680} \)
\( \displaystyle {A}\to{3.840} \)
\( \displaystyle {B}\to{1.920} \)
\( \displaystyle {A}\to{960} \)
\( \displaystyle {B}\to{480} \)
\( \displaystyle {A}\to{240} \)
\( \displaystyle {B}\to{120} \)
\( \displaystyle {A}\to{60} \)
\( \displaystyle {B}\to{30} \)
\( \displaystyle {A}\to{15} \)
\( \displaystyle {B}\to{14} \)
\( \displaystyle {A}\to{7} \)
\( \displaystyle {B}\to{6} \)
\( \displaystyle {A}\to{3} \)
\( \displaystyle {B}\to{2} \)
\( \displaystyle {A}\to{1} \)
vincendo in un totale di 19 "colpi", come li chiama il testo..

Che ne dite? Posso giustificare meglio questa mia soluzione, se è corretta? Grazie.

[WiZaRd]

Io sono d'accordo.

[elios]

Secondo te è inevitabile quella parte di calcoli, e di tentativi?
Temo sempre che si possa rendere più letterale e più generico..

[WiZaRd]

Mah, onestamente io non avrei saputo fare di meglio.
Considera però che io so scarso e con i quesiti di TdN e affini ancora di più: ergo, io mi sarei buttato ancor di più a tentativi.

Magari attendiamo che qualcuno più ferrato in questo tipo di problemi posti un parere.

[alsfigato]

Scusa ma non ho capito come hai stabilito il massimo e il minimo...

[elios]

Eh, nel modo più barbaro che ci sia, cioè calcolatrice alla mano, ho fatto i conti per cui il risultato mi veniva compreso fra 30.000 e 31.000