Gruppi di ordine 30

[alberto86]

Ciao a tutti..Ho il seguente esercizio da proporre: Quanti gruppi di ordine 30 esistono a meno di isomorfismi?
Io ho proseguito in questo modo:
\( \displaystyle {\left|{G}\right|}={30}={2}\cdot{15} \)
15 è dispari pertanto esiste un sottogruppo \( \displaystyle {H}_{{{15}}}\lt{G} \) che avendo indice due è normale. \( \displaystyle {H}_{{{15}}} \) ha ordine \( \displaystyle {3}\cdot{5} \) e 3 non divide \( \displaystyle {4} \) per cui è il ciclico \( \displaystyle {C}_{{{15}}} \). Per il teorema di Sylow esistono sottogruppi di ordine 2. Nel caso in cui questo sia il solo è normale e \( \displaystyle {G}\stackrel{\sim}{=}{C}_{{{15}}}\times{C}_{{2}}={C}_{{{30}}} \). Le altre possibilità per il numero dei 2-Sylow sono 3,5,15.
Per capire come sono fatti ho cercato di guardare ai prodotti semidiretti:
Guardando ai possibili omomorfismi \( \displaystyle \theta:{C}_{{2}}\rightarrow{A}{u}{t}{\left({C}_{{{15}}}\right)}\stackrel{\sim}{=}{C}_{{2}}\times{C}_{{4}} \), se \( \displaystyle {a} \) genera \( \displaystyle {C}_{{2}} \) e \( \displaystyle {\left({b},{1}\right)},{\left({1},{c}\right)} \) generano \( \displaystyle {C}_{{2}}\times{C}_{{4}} \) allora ci sono 3 possibilità:
1) quello banale \( \displaystyle \theta{\left({a}\right)}={1} \) che dà luogo a \( \displaystyle {C}_{{2}}\times_{{1}}{C}_{{{15}}}={C}_{{{30}}} \)
2) \( \displaystyle \theta{\left({a}\right)}={\left({b},{1}\right)} \) che corrisponde all'automorfismo \( \displaystyle {x}\rightarrow{{x}}^{{-{1}}} \) e \( \displaystyle {C}_{{{15}}}\times_{{\theta}}{C}_{{2}}\stackrel{\sim}{=}{D}_{{{15}}} \)
3)\( \displaystyle \theta{\left({a}\right)}={\left({1},{{c}}^{{2}}\right)} \) che corrisponde a \( \displaystyle {x}\rightarrow{{x}}^{{{4}}} \)...il prodotto semidiretto di questo non lo conosco.

Mi manca comunque ancora un caso. Qualche idea? mi viene in mente \( \displaystyle {S}_{{3}}\times{C}_{{5}} \)
In generale c'è un modo per sapere se sono state viste tutte le varie possibilità?
Grazie

[Martino]

Mancherebbe il caso \( \displaystyle \theta{\left({a}\right)}={\left({b},{{c}}^{{2}}\right)} \)...

[Martino]

Segnalo questo, lemma 2. Ho usato la teoria di Hall solo per provare l'esistenza di un sottogruppo di ordine 15.

[alberto86]

Grazie..molto utile!!