gruppi di ordine \( \displaystyle {{p}}^{{2}} \), con \( \displaystyle {p} \) primo

[deserto]

Infatti non l'ho dimostrato. Ho provato a considerare i vari casi con \( \displaystyle {p}={2},{3},{5},{7} \) e l'unica possibilità che si ha per \( \displaystyle {m} \) è proprio \( \displaystyle {m}={1} \). Ho provato anche a sviluppare il fatto che \( \displaystyle {p} \) ed \( \displaystyle {m} \) sono relativamente primi, da cui \( \displaystyle \exists{a},{b}\in\mathbb{Z} \) tali che \( \displaystyle {a}{m}+{b}{p}={1} \) ottenendo \( \displaystyle {a}\cdot{\sqrt[{{p}}]{{{k}{p}+{1}}}}+{b}{p}={1} \), ma in tale modo si complica notevolmente. Mi daresti qualche altro input? grazie

[Martino]

Conosci il piccolo teorema di Fermat?

[deserto]

Certo!
Quindi poichè \( \displaystyle \forall{a}\in\mathbb{Z}{p} \) divide \( \displaystyle {{a}}^{{p}}-{a} \), prendo \( \displaystyle {a}={m} \) e combino con \( \displaystyle {p} \) divide \( \displaystyle {{m}}^{{p}}-{1} \), dunque \( \displaystyle {p} \) divide \( \displaystyle {m}-{1} \) da cui ho solo \( \displaystyle {m}={1} \) come possibilità.
Grazie

[Martino]

Prego.

Comunque c'era un metodo che ritengo più immediato: se consideri il gruppo degli automorfismi di \( \displaystyle {C}_{{p}} \), \( \displaystyle {A}{u}{t}{\left({C}_{{p}}\right)} \) (è un gruppo con l'operazione di composizione), è facile vedere che esso è isomorfo a \( \displaystyle {C}_{{{p}-{1}}} \) (è identificabile all'insieme dei possibili esponenti \( \displaystyle {m} \) di \( \displaystyle {h} \) nella mappa \( \displaystyle {h}\to{{h}}^{{m}} \)), e l'azione di \( \displaystyle {x} \) su \( \displaystyle {h} \) determina un omomorfismo \( \displaystyle {C}_{{p}}\to{A}{u}{t}{\left({C}_{{p}}\right)}={C}_{{{p}-{1}}} \). Se per assurdo esso non mandasse tutto in 1 allora sarebbe iniettivo (il suo nucleo è un sottogruppo di \( \displaystyle {C}_{{p}} \) diverso da \( \displaystyle {C}_{{p}} \), quindi è \( \displaystyle {1} \)), assurdo in quanto \( \displaystyle {p} \) non divide \( \displaystyle {p}-{1} \).

Ciao alla prossima!

PS. ti segnalo anche questo.