Ho deciso di scrivere una tesi sulla Misura di Haar le cui applicazioni riguardano appunto i gruppi topologici localmente compatti. Il docente mi ha refilato un libro in cui le dimostrazioni non si dilungano per più di qualche riga e avrei bisogno di rimpolparle un po' sia per capirle in modo impeccabile, sia per chiarezza espositiva. Volevo quindi usare questo thread per farmi aiutare in questo mio lavoro.
Comincio con una piccola introduzione:
Definizione: Un gruppo topologico $G$ è un gruppo $G$ munito di una topologia rispetto alla quale le operazioni di gruppo (solitamente prodotto e inversione) sono continue; cioè la mappa $(x,y)|->x*y$ è continua da $GtimesG$ in $G$ e la mappa $x|->x^(-1)$ è continua da $G$ in $G$
Se $G$ è un gruppo topologico denoteremo con $1$ l'elemento unitario di $G$; inoltre se $A sub G$ e $BsubG$ definiamo:
$Ax:={yx : y in A}$
$xA:={xy:y in A}$
$A^(-1):={y^(-1):y in A}$
$A*B:={xy : x in A, y in B}$
Ovviamente cercheremo di evitare scritture come $A^2$ per indicare $A*A$ perché denoterebbe l'insieme ${x^2 : x in A}$ che in generale è un sottoinsieme di $A*A$. Diremo che $A$ è simmetrico se $A=A^(-1)$.
Questa è la breve introduzione che fa il libro. Ora comincia la parte lasciata al lettore: innanzi tutto mi fa notare che $A nnn B=O/$ se e solo se $1 notin A^(-1)*B$
Io inizierei da qui perché non so come dimostrare questo fatto.
Poi elenca una serie di proprietà degli spazi toplogici:
Proposizione: sia $G$ un gruppo topologico, allora:
- La topologia di $G$ è invariante per traslazione e inversione, cioè se $U$ è aperto allora lo sono anche $xU$, $Ux$ e $U^(-1)$ per ogni $x in G$. Inoltre se $U$ è aperto, tali sono anche $U*A$ e $A*U$ per ogni $A sub G$.
- Per ogni intorno $U$ di $1$ c'è un intorno simmetrico $V$ di $1$ tale che $V*V sub U$.
- Se $H$ è un sottogruppo di $G$ allora anche $bar(H)$ lo è.
- Ogni sottogruppo aperto di $G$ è chiuso.
- Se $A$ e $B$ sono sottoinsiemi compatti di $G$, anche $A*B$ lo è.
(Non capisco perché non riesco a fare un elenco numerato pur usando la funzione "lista ordinata")
Dimostrazione:
- Il primo asserto è equivalente alla continuità separata della mappa $(x,y)|->x*y$ e alla continuità dell'applicazione $x|->x^(-1)$. Il secondo segue dal fatto che $A*U=uuu_(x in A)xU$ e che $U*A=uuu_(x in A)Ux$
- La continuità di $(x,y)|->x*y$ in $1$ significa che per ogni intorno $U$ di $1$ ci sono due intorni $W_1$ e $W_2$ di $1$ tali che $W_1*W_2 sub U$. Dunque l'insieme $V$ desiderato può essere scelto in $W_1nnnW_2nnnW_1^(-1)nnnW_2^(-1)$
- Se $x,y in bar(H)$ esistono due reti ${x_alpha}$ e ${y_beta}$ in $H$ che convergono a $x$ e $y$. Dunque $x_alphay_beta->xy$ e $x_alpha^(-1)->x^(-1)$ e quindi $xy$ e $x^(-1)$ sono in $bar(H)$
- Se $H$ è aperto, anche i suoi laterali sinistri $xH$ lo sono. L'insieme $G\\H$ è l'unione di questi laterali tranne al più $H$ stesso. Dunque $G\\H$ è aperto e $H$ è chiuso
- $A*B$ è l'immagine dell'insieme compatto $A times B$ mediante l'applicazione continua $(x,y)|->xy$, dunque è compatto.
Vi prego aiutatemi con queste dimostrazioni perché sono in difficoltà.
). ciao
