gruppo di ordine $pqr$

[mistake89]

Ciao a tutti, oggi mi sono imbattuto in un esercizio sui gruppi ed ho trovato difficoltà nella risoluzione.

Dato un gruppo $G$ di ordine $pqr$ con $p<q<r$ tutti primi, mostrare che l'$r$-sylow è normale in $G$ e che se $q$ non divide $r-1$ allora il $q$-sylow è normale.

Poichè non mi riusciva di venirne a capo (il problema nel primo quesito riguardo lo scartare l'ipotesi $n_r=pq$) ho provato a ragionare su un esempio concreto. Allora siano $pqr=30$ cioè $p=2,q=3,r=5$. Ma non riesco a mostrare che $r$-sylow è normale in $G$. Sicuramente tale gruppo non è semplice, ma secondo quanto affermato sopra sia il $5$-sylow che il $3$-sylow dovrebbero essere normali in $G$, eppure a me qualcosa non torna.

Qualche idea o suggerimento?

[j18eos]

Hai provato a contare gli $r$-sylow!

[mistake89]

Beh sì e i conti non tornano.
Il loro numero deve dividere $pq$ ed essere congruo a $1$ mod $r$. Potrebbe perciò essere $p,q,pq,1$. Ovviamente $p,q$ sono da escludere, poichè entrambi minori di $r$, ma $pq$ potrebbe benissimo essere congruo ad $1$ mod $r$, come accade ad esempio nel gruppo di ordine $30$. Ed è proprio qui che non riesco ad andare avanti.

[Martino]

Ti consiglio di fare così:

supponi per assurdo R non normale. Allora ci sono pq r-Sylow e quindi pq(r-1) elementi di ordine r. Gli elementi che non hanno ordine r sono quindi pq.

In base a questo dimostri che c'è un solo q-Sylow, escludendo le altre possibilità tramite opportune disuguaglianze.

Quindi il q-Sylow è normale, chiamalo Q. Prendi un r-Sylow R. R è isomorfo a un r-Sylow di G/Q, che ha ordine pr. E' facile mostrare che in G/Q c'è un solo r-Sylow, e deve coincidere con RQ/Q. In particolare RQ è normale in G, e quindi tutti i coniugati di R sono contenuti in RQ.

Segue che il numero di r-Sylow di G è uguale al numero di r-Sylow di RQ, ed ora dedurre un assurdo è facile.

[Vedi qui per ulteriori dettagli]

[mistake89]

Ti ringrazio per l'idea Martino. Questa sera prova a scriverla per bene e poi la posto