Gruppo fondamentale di due insiemi

[squalllionheart]

Devo calcolare il gruppo fondamentale di:
\( \displaystyle {X}={{S}}^{{2}}-{\left\lbrace{2}{p}{u}{n}{t}{i}\right\rbrace} \) e \( \displaystyle {Y} \)={unione di due circonferenze concentriche}.
Per quanto riguarda \( \displaystyle \pi_{{1}}{\left({X}\right)}=\mathbb{Z} \) dato che \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{2}} \) è omeomorfo a \( \displaystyle {{S}}^{{2}}- \){1 punto}, dunque \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{2}}- \){1 punto} sarà omeomorfo a \( \displaystyle {{S}}^{{2}}- \){2 punti}, \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{2}}- \){1 punto} è omotopo a \( \displaystyle {{S}}^{{1}} \)...
Nel secondo caso che devo mettere \( \displaystyle \mathbb{Z} \) o specificare qualcosa??

[vict85]

Per il secondo dovresti partire da considerare le componenti connesse (il gruppo fondamentale è fisso per ogni punto all'interno di una componente connessa)... Comunque è \( \displaystyle \mathbb{Z} \) in ogni punto...

Per il primo a occhio dovrebbe andare bene. Volendo potresti far vedere che \( \displaystyle {{S}}^{{1}} \) è un retratto di deformazione (credo forte ma all'ora tarda non sapreii) di \( \displaystyle {X} \).

[squalllionheart]

Scusa se fosse stato ad esempio una circonferenza disgiunta con una retta, allora le componenti connesse per archi sono due, in una il gruppo fondamentale è \( \displaystyle \mathbb{Z} \) l'altro è banale, dunque è per tutto \( \displaystyle \mathbb{Z} \). Nel senso che non ho nessuna relazione che mi dice \( \displaystyle \pi_{{1}}{\left({X}\cup{Y}\right)}=\pi_{{1}}{\left({X}\right)}\cup\pi_{{1}}{\left({Y}\right)} \) se \( \displaystyle {X} \) e \( \displaystyle {Y} \) sono le componenti connesse per archi...