Gruppo fondamentale di un insieme

[squalllionheart]

Allora devo calcolare il gruppo fondamentale di alcuni insiemi e trovare quali sono tra loro omeomorfi:
\( \displaystyle {A}={\left\lbrace{z}\in\mathbb{C}:{1}\lt{\left|{z}\right|}\lt{2}\right\rbrace} \)
\( \displaystyle \frac{{A}}{\mathbb{Z}_{{2}}} \)
\( \displaystyle {{S}}^{{1}}{X}\mathbb{R} \)
\( \displaystyle {{P}}^{{2}}{\left(\mathbb{R}\right)} \)
Allora corregetemi perchè molto probabilmente sbaglio
\( \displaystyle \pi_{{1}}{\left({A}\right)}=\mathbb{Z} \)
\( \displaystyle \pi_{{1}}{\left(\frac{{A}}{\mathbb{Z}_{{2}}}=?\right)} \)
\( \displaystyle \pi_{{1}}{\left({{S}}^{{1}}{X}\mathbb{R}\right)}=\mathbb{Z} \)
\( \displaystyle \pi_{{1}}{\left({{P}}^{{2}}{\left(\mathbb{R}\right)}\right)}=\mathbb{Z}_{{2}} \)
Allora per quanto riguarda la corona circolare ho pensato che la circonferenza fosse un retratto di deformazione forte...per questo ho pensato che ha lo stesso gruppo fondamentale.... ma questo non mi permette di trovare il gruppo fondamentale del quoziente...è anche vero che \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{2}} \) agisce tramite azione propriamente discontinua ma rimane il fatto che A non è semplicemente connesso...

[vict85]

Se non sbaglio il secondo è omotopo al piano proiettivo... o beh, sarebbe \( \displaystyle {{S}}^{{1}}\//\mathbb{Z}_{{2}}\times{\left[{1},{2}\right]}\//\mathbb{Z}_{{2}} \) dove [1,2] è uno spazio semplicemente connesso...

[squalllionheart]

Scusa ma \( \displaystyle {A}={{S}}^{{1}}{x}{\left({0},{1}\right)} \), Puoi chiarire bene la relazione
Grazie.

[pat87]

Sì anche io sono dell'idea che il secondo sia omotopo al piano proiettivo unidimensionale \( \displaystyle {{P}}^{{1}}{\left(\mathbb{R}\right)} \), ed in quanto esso è omeomorfo a \( \displaystyle {{S}}^{{1}} \), il suo gruppo fondamentale è \( \displaystyle \mathbb{Z} \).
Una valida motivazione potrebbe essere il fatto che essenzialmente l'insieme \( \displaystyle {A} \) è omotopicamente equivalente a \( \displaystyle {{S}}^{{1}} \), e chiaramente il rapporto \( \displaystyle {{S}}^{{1}}\//\mathbb{Z}_{{2}} \) è il piano proiettivo.

[squalllionheart]

Allora perchè la mia incertezza dipende dalla seguente relazione:
Posto \( \displaystyle {A}={{S}}^{{1}}{x}{\left[\frac{{1}}{{2}},{2}\right]} \) allora \( \displaystyle \pi_{{1}}{\left(\frac{{A}}{\mathbb{Z}_{{2}}}\right)}=\pi_{{1}}{\left(\frac{{{{S}}^{{1}}{x}{\left[\frac{{1}}{{2}},{2}\right]}}}{\mathbb{Z}_{{2}}}\right)} \)=\( \displaystyle \pi_{{1}}{\left(\frac{{{S}}^{{1}}}{\mathbb{Z}_{{2}}}\right)}{x}\pi_{{1}}{\left(\frac{{\matrix{\frac{{1}}{{2}}&{2}}}}{\mathbb{Z}_{{2}}}\right)} \)...
il che non mi è chiarissimo...se fosse vero verrebbe \( \displaystyle \mathbb{Z}{x}\mathbb{Z}_{{2}} \)...........
Aspetto chiarimenti;)
GRazie

[pat87]

Adesso forse dirò una cavolata, ma secondo me il secondo quoziente è omeomorfo ad un intervallo, e quindi il suo gruppo fondamentale è banale.

[squalllionheart]

Pat87 non credo perchè \( \displaystyle \pi_{{1}}{\left(\frac{{X}}{{G}}\right)}={G} \) se X è semplicemente connesso infatti \( \displaystyle \pi_{{1}}{\left(\frac{{R}}{{Z}}\right)}={Z} \) per questo...l'unica ipotesi che posso avanzare a questo punto, correggetemi se sbaglio è questo...
Se \( \displaystyle {X} \) è omotopo a \( \displaystyle {Y} \) allora \( \displaystyle \frac{{X}}{{G}} \) è omotopo a \( \displaystyle \frac{{Y}}{{G}} \). Questa chiarirebbe tutto...ma si dovrebbe dimostrare.......

[pat87]

Mmmh...sei sicuro che vale per ogni insieme \( \displaystyle {X} \) (semplicemente connesso)? Da Wikipedia leggo che vale per i gruppi di Lie (compatti o che soddisfano altre proprietà), e un intervallo chiuso non è un gruppo di Lie. Guarda qui:
http://en.wikipedia.org/wiki/Fundamental_group
sotto la voce universal covering space.

In ogni caso mi sembra anche difficile che non sia banale il gruppo fondamentale. Cosa significa prendere \( \displaystyle \mathbb{R}\//\mathbb{Z}_{{2}} \)? Significa prendere \( \displaystyle \mathbb{R} \) ed identificare in un unica classe di equivalenza tutti i punti \( \displaystyle +\//-{p} \), ovvero, un insieme di rappresentanti è dato dal semiintervallo \( \displaystyle {\left[{0},\infty\right)} \). Si intuisce che ogni curva chiusa è sempre omotopa ad un punto perché anche se va nei negativi, la relazione di equivalenza la riporta nei positivi.

Correggietemi se dico scemate

[squalllionheart]

Guarda il Kosniowski p.176 corollario 19.4 sul Sernesi non c'è.
Il tuo ragionamento non l'ho capito da quando affermi che una classe è costituita dal semi intervallo...
Per quanto riguarda l'esercizio dici che va bene questa relazione?
Se X è omotopo a Y allora X/G è omotopo a Y/G?

[pat87]

No, dico che un insieme di rappresentanti è \( \displaystyle {\left[{0},\infty\right)} \), in quanto
\( \displaystyle \mathbb{R}=\bigcup_{{{p}\in{\left[{0},\infty\right)}}}{\left[{p}\right]} \),
dove \( \displaystyle {\left[{p}\right]}={\left\lbrace+\//-{p}\right\rbrace} \).
Come ad esempio \( \displaystyle {\left[{0},{1}\right)} \) è un insieme di rappresentanti per l'azione di \( \displaystyle \mathbb{Z} \) in \( \displaystyle \mathbb{R} \). In questo ultimo caso considerare \( \displaystyle \mathbb{R}\//\mathbb{Z} \) è come considerare di identificare i punti \( \displaystyle {0} \) e \( \displaystyle {1} \) nell'intervallo \( \displaystyle {\left[{0},{1}\right]} \), ottenendo così una circonferenza. Mentre in \( \displaystyle \mathbb{R}\//\mathbb{Z}_{{2}} \) identifico tutti i punti negativi con quelli positivi ed ottengo un insieme omeomorfo alla semiretta positiva. Ma il mio è un ragionamento intuitivo buttato là così.
Se un teorema dice così allora mi arrendo
Allora credo che la pecca sia in questo passaggio che non puoi fare così alla leggera:
\( \displaystyle \pi_{{1}}{\left({{S}}^{{1}}\times{\left[\frac{{1}}{{2}},{2}\right]}\//\mathbb{Z}_{{2}}\right)}=\pi_{{1}}{\left({{S}}^{{1}}\//\mathbb{Z}_{{2}}\right)}\times\pi_{{1}}{\left({\left[\frac{{1}}{{2}},{2}\right]}\//\mathbb{Z}_{{2}}\right)} \)

Infatti sarei più convinto del fatto che vale che se \( \displaystyle {X} \) è omotopo a \( \displaystyle {Y} \) allora \( \displaystyle {X}\//{G} \) è omotopo a \( \displaystyle {Y}\//{G} \). Però non ne sono affatto sicuro.