Gruppo metrico.

[Martino]

Un altro simpatico esercizio.

Sia G un gruppo abeliano (notazione additiva) che sia anche spazio metrico con distanza d, in modo tale che per ogni $a,b \in G$ si abbia $d(a,b)=d(a-b,0)$.
Mostrare che:

a) Se esiste un punto aperto allora G è discreto (ovvero la topologia è quella discreta).

b) Se G è completo e non discreto allora non è numerabile.

[Chevtchenko]

Molto carino! La (a) è praticamente immediata. Quanto alla (b), si ha $G = \cup_{x \in G} \{x\}$, per cui se $G$ è numerabile e completo qualche $\{x\}$ ha interno non vuoto (per il teorema di Baire), cioè è aperto, donde segue per la (a) che $G$ e' discreto.

[Martino]

Ho visto solo adesso che qualcuno ha risposto qui

Bravo, si vede che sei analista.. a me è risultato difficile pensare a Baire, ...

Ciao ciao.