Gruppo moltiplicativo di un campo finito

[squalllionheart]

ciao rega vorrei un chiarimento rispetto a due questioni collegate:

Teorema fondamentale di struttura di gruppi abeliani finiti:
Sia G abeliano finito allora è il prodotto diretto di gruppi ciclici.

Prima questione:
Non è detto che il prodotto diretto di gruppi ciclici sia ciclio?

Teorema: Il gruppo moltiplicativo di un campo è ciclico.
Seconda questione:
Definito K* il campo privato dello $0$ allora sono d'accordo che sia abeliano finito.
cosa che non comprendo come è possibile che sia ciclico.
Sarà prodotto diretto di gruppi ciclici.
Ma mi sfugge il fatto che sia ciclico sempre.

Spero a presto Mari

[Martino]

Prima questione:
Non è detto che il prodotto diretto di gruppi ciclici sia ciclio?

No: per esempio $C_2 times C_2$ non è ciclico (dove $C_2$ è il gruppo con 2 elementi).

Teorema: Il gruppo moltiplicativo di un campo è ciclico.
Seconda questione:
Definito K* il campo privato dello $0$ allora sono d'accordo che sia abeliano finito.
cosa che non comprendo come è possibile che sia ciclico.
Sarà prodotto diretto di gruppi ciclici.
Ma mi sfugge il fatto che sia ciclico sempre.

E' una cosa che si dimostra (e vale per i campi finiti, non in generale)

Se non ricordo male il risultato fondamentale è il seguente (ma non fidarti ciecamente perché potrei ricordare male):

Prop: se G è un gruppo finito di ordine n tale che per ogni divisore k di n si abbia $Card(\{x in G,\ x^k=1\}) le k$ allora G è ciclico.

Possiamo applicare questo risultato al nostro caso perché in un campo ci sono al più k radici k-esime di 1 (ovvero zeri del polinomio $x^k-1$, monico di grado k).

[squalllionheart]

ora è più chiaro. la dimostrazione della proposizione la hai su latex?
su tre libri di algebra alcune dimostrazioni rimangono sempre un mistero. grazie a presto mari.

[Martino]

Certo, l'ho su latex (quando ho risposto la prima volta ero fuori casa quindi non potevo controllare).

Ecco qui:

Proposizione: se \( \displaystyle G \) è un gruppo finito di ordine \( \displaystyle n \) tale che per ogni divisore \( \displaystyle k \) di \( \displaystyle n \) si abbia \( \displaystyle |\{x \in G\ |\ x^k=1\}| \leq k \) allora \( \displaystyle G \) è ciclico.

Dimostrazione: per ogni \( \displaystyle k|n \) definiamo (con $|x|$ indico l'ordine dell'elemento $x$, e con $C_n$ il gruppo ciclico di ordine n)

\( \displaystyle k^{\diamond} = |\{x \in G,\ |x|=k\}| \) ,

\( \displaystyle k_{\diamond} = |\{x \in C_n,\ |x|=k\}| \) .

Quello che dobbiamo mostrare è che \( \displaystyle n^{\diamond} \neq 0 \) .
Sia \( \displaystyle k \) un divisore di \( \displaystyle n \) e supponiamo che \( \displaystyle k^{\diamond} \neq 0 \) , ovvero supponiamo esista \( \displaystyle a \in G \) di ordine \( \displaystyle k \) . Allora il gruppo ciclico generato da \( \displaystyle a \) (che chiamerò \( \displaystyle \langle a \rangle \) ) consiste di \( \displaystyle k \) elementi la cui potenza \( \displaystyle k \) -esima è uguale ad uno, e quindi per l'ipotesi gli elementi \( \displaystyle x \in G \) tali che \( \displaystyle x^k=1 \) sono esattamente gli elementi di \( \displaystyle \langle a \rangle \) (perché ce ne sono al più \( \displaystyle k \) , e \( \displaystyle \langle a \rangle \) ne contiene esattamente \( \displaystyle k \) ). In altre parole

\( \displaystyle \langle a \rangle = \{x \in G\ |\ x^k=1\} \)

Questo dimostra che \( \displaystyle k^{\diamond} = k_{\diamond} \) , perché \( \displaystyle \langle a \rangle \) ha esattamente \( \displaystyle \varphi(k) = k_{\diamond} \) generatori ( \( \displaystyle \varphi \) è la \( \displaystyle \varphi \) di Euler).
In definitiva abbiamo mostrato che se \( \displaystyle k^{\diamond} \neq 0 \) allora \( \displaystyle k^{\diamond} = k_{\diamond} \) . In particolare \( \displaystyle k^{\diamond} \leq k_{\diamond} \) per ogni divisore \( \displaystyle k \) di \( \displaystyle n \) .

Ora \( \displaystyle \sum_{k|n} k^{\diamond} = n = \sum_{k|n} k_{\diamond} \) , e quindi \( \displaystyle \sum_{k|n}(k_{\diamond}-k^{\diamond})=0 \) . Una somma di numeri non negativi dà zero se e solo se ogni addendo è zero, quindi \( \displaystyle k^{\diamond}=k_{\diamond} \) per ogni \( \displaystyle k|n \) .

In particolare \( \displaystyle n^{\diamond} = n_{\diamond} \) , quindi \( \displaystyle n^{\diamond} \neq 0 \) , quindi esiste in \( \displaystyle G \) un elemento di ordine \( \displaystyle n \) , e quindi \( \displaystyle G \) è ciclico.