Gruppo ordine 231

[supergrane]

Devo dimostrare che un gruppo di ordine 231=3*7*11 ha centro necessariamente non banale!!! qualche idea??

[Nidhogg]

Idea:
$|G|=p*q*r$, supponiamo $p <q <r$. Si ha che o il sottogruppo $q$-Sylow o il sottogruppo $r$-Sylow di $G$ è normale in $G$.
Il centro di un gruppo $G$ è un sottogruppo normale di $G$

Spero di averti aiutato


Saluti,
Ermanno.

[vict85]

Beh, con Sylow sai che l'11-Sylow è normale perché 12 non è divisore di 21... Inoltre anche il 7-Sylow è normale perché 8, 22 e 29 non dividono 33. Se H e K sono i due sottogruppi in questione HK è un sottogruppo normale e gli elementi di H e K commutano elemento per elemento... I 3-Sylow possono invece essere 1 o 7... Se fosse normale ovviamente il gruppo sarebbe ciclico. D'altra parte cosa sai sui gruppi di ordine 33?

[Martino]

Ciao

Quindi, il 7-Sylow e l'11-Sylow sono normali. Se i 3-Sylow sono 7 allora per il "counting principle" il normalizzante di ogni 3-Sylow ha ordine 33 (=231/7), quindi l'11-Sylow normalizza i 3-Sylow. Ma ogni 3-Sylow è per definizione normale nel suo normalizzante, ed anche l'11-Sylow (essendolo in G), quindi questi normalizzanti sono abeliani, e quindi l'11-Sylow centralizza tutti i 3-Sylow e tutti i 7-Sylow. Ora è chiaro che il candidato ad essere il centro è l'11-Sylow.

[supergrane]

@martino

è tutto chiaro, tranne la parte in cui dici "questi normalizzanti sono abeliani", potresti essere un poco più chiaro?? grazie

[Martino]

@martino

è tutto chiaro, tranne la parte in cui dici "questi normalizzanti sono abeliani", potresti essere un poco più chiaro?? grazie

Un qualsiasi normalizzante H ha ordine 33 quindi contiene l'11-Sylow, che è normale in H essendolo in G, e contiene il sottogruppo di ordine 3 che normalizza, che quindi è normale in H. Quindi contiene due sottogruppi normali di ordini 3 e 11 di intersezione banale. Siccome ha ordine 33, dev'essere il prodotto diretto interno di tali due sottogruppi. Quindi $H$ è isomorfo a $C_3 xx C_{11}$.

[vict85]

@martino

è tutto chiaro, tranne la parte in cui dici "questi normalizzanti sono abeliani", potresti essere un poco più chiaro?? grazie

Un qualsiasi normalizzante H ha ordine 33 quindi contiene l'11-Sylow, che è normale in H essendolo in G, e contiene il sottogruppo di ordine 3 che normalizza, che quindi è normale in H. Quindi contiene due sottogruppi normali di ordini 3 e 11 di intersezione banale. Siccome ha ordine 33, dev'essere il prodotto diretto interno di tali due sottogruppi. Quindi $H$ è isomorfo a $C_3 xx C_{11}$.

In altre parole è isomorfo al gruppo ciclico di ordine 33...

[Thomas]

qualcuno ha voglia di scrivere per un curioso la dimo step by step senza dare nulla per scontato a parte gli enunciati dei teoremi (che dovrebbe solamente citare )?

[Martino]

Attenzione: la dimostrazione che segue è troppo lunga, ma non la cancello dato che contiene idee utili. Per una dimostrazione più breve si veda qui.

qualcuno ha voglia di scrivere per un curioso la dimo step by step senza dare nulla per scontato a parte gli enunciati dei teoremi (che dovrebbe solamente citare )?

Abbiamo $|G|=231=3*7*11$.
Per i teoremi di Sylow esistono almeno un $3$-Sylow, un $7$-Sylow e un $11$-Sylow, e:

- il numero di $3$-Sylow è $1$ mod $3$ e divide $77$ - quindi è $1$ oppure $7$;
- il numero di $7$-Sylow è $1$ mod $7$ e divide $33$ - quindi è $1$;
- il numero di $11$-Sylow è $1$ mod $11$ e divide $21$ - quindi è $1$.

Siccome fissato un primo $p$, i $p$-Sylow sono tutti coniugati tra loro, il fatto che ci sia un solo $p$-Sylow significa che esso è un sottogruppo normale. Quindi il $7$-Sylow e l'$11$-Sylow sono sottogruppi normali di $G$.

Ora se c'è un solo $3$-Sylow allora è normale e quindi $G$ è il prodotto diretto dei suoi sottogruppi di Sylow, in virtù del seguente fatto:

PROPOSIZIONE 1: se $G$ è un gruppo finito e $N_1,...,N_h$ sono sottogruppi normali di $G$ tali che $(|N_i|, |N_j|) = 1$ per ogni $i ne j$ e $N_1N_2...N_h=G$ allora $G$ è isomorfo al prodotto diretto $N_1 xx N_2 xx ... xx N_h$.

Segue quindi che \( \displaystyle G \cong C_3 \times C_7 \times C_{11} \cong C_{231} \) e quindi il centro di $G$ è $G$.

L'alternativa è che i $3$-Sylow di $G$ siano $7$. Sia $H$ un $3$-Sylow.

Ricordiamo il seguente fatto:

PROPOSIZIONE 2 (equazione delle classi / counting principle): sia $G$ un gruppo che agisce su un insieme $X$, e sia $x in X$. Allora la cardinalità dell'orbita di $x$ è uguale all'indice del suo stabilizzatore in $G$.

Applichiamo questo "principio" all'azione di $G$ per coniugio sui suoi sottogruppi, prendendo come $x$ il $3$-Sylow $H$. Otteniamo che i coniugati di $H$ (cioè gli elementi dell'orbita secondo tale azione), che sappiamo essere $7$, sono tanti quanti l'indice dello stabilizzatore di $H$ per l'azione di coniugio, detto normalizzante di $H$ in $G$ e denotato con $N_G(H)$. In altre parole l'indice di $N_G(H)$ vale $7$. Ne segue che l'ordine di $N_G(H)$ è $33$ (perché $|N_G(H)|*|G:N_G(H)|=|G|$, dal teorema di Lagrange). In particolare $N_G(H)$ contiene un sottogruppo di ordine $11$ (il suo $11$-Sylow), sia esso $K$. Ma $K le N_G(H) le G$ e quindi $K le G$, e sappiamo esserci un solo sottogruppo di $G$ di ordine $11$ (l'$11$-Sylow di $G$). Segue quindi che il normalizzante del $3$-Sylow $H$ contiene l'$11$-Sylow, in altre parole l'$11$-Sylow normalizza ogni $3$-Sylow (avendo fatto questo ragionamento per ogni $3$-Sylow).

Ora è chiaro che $H$ è normale in $N_G(H)$ (per definizione), e $K$ pure, essendo $K$ normale addirittura in $G$. Quindi per la proposizione 1 $N_G(H)$ è isomorfo al prodotto diretto $C_3 xx C_11 cong C_{33}$, quindi è in particolare abeliano. Ne segue che l'$11$-Sylow commuta elemento per elemento con ogni $3$-Sylow ("centralizza" i $3$-Sylow). Inoltre l'$11$-Sylow centralizza anche il $7$-Sylow in virtù della seguente:

PROPOSIZIONE 3: siano $N_1$ e $N_2$ due sottogruppi normali di un gruppo $G$ tali che $N_1 nn N_2 = {1}$. Allora $N_1$ e $N_2$ si centralizzano a vicenda. Ovvero $n_1n_2=n_2n_1$ per ogni $n_1 in N_1$, $n_2 in N_2$.

Quindi l'$11$-Sylow centralizza ogni sottogruppo di Sylow di $G$. La speranza è quindi di dimostrare che il centro di $G$ contiene il suo $11$-Sylow.

Siano $H$ un $3$-Sylow, $K$ il $7$-Sylow e $N$ l'$11$-Sylow. Allora $(HK)N$ è un sottogruppo di $G$ in virtù della seguente:

PROPOSIZIONE 4: siano $A$ e $B$ due sottogruppi di $G$ tali che $AB=BA$ (questo accade per esempio se uno tra $A$ e $B$ è normale in $G$). Allora $AB$ è un sottogruppo di $G$, e il suo ordine è $(|A|*|B|)/|A nn B|$.

Quindi l'ordine di $(HK)N=HKN$ è \( \displaystyle 231 \) perché $|H|$ e $|K|$ sono coprimi, come $|HK|$ e $|N|$. Quindi $HKN=G$.
Ora è chiaro che $N$ centralizza $G$, in quanto centralizza $H$, $K$ e $N$ (basta scrivere un elemento di $G$ come $hkn$ con $h in H$, $k in K$, $n in N$, poi prendere $x in N$ e osservare che $x(hkn)=hxkn=hkxn=(hkn)x$).
Dire che $N$ centralizza $G$ significa che è contenuto nel centro di $G$, e questo basta. Addirittura coincide col centro, in virtù della seguente:

PROPOSIZIONE 5: il centro di un gruppo non può avere indice primo.

Addirittura il centro di un gruppo $G$ non può essere un sottogruppo massimale in quanto detto $Z$ il centro, se $g$ è fuori da $Z$ allora il centralizzante di $g$ contiene $Z$ e $g$, quindi è uguale a $G$: in altre parole $g$ è nel centro, assurdo.

[Thomas]

martino sei un grande

intanto ti ringrazio.... doma me la stampo e la leggo per bene!