Gruppo simmetrico (orbita e centralizzatore)

[angus89]

Non riesco a far tornare i conti, probabilmente è una stupidagine ma è un pò che ci son sopra...

Determinare il centralizatore di \( \displaystyle \sigma=(14)(32) \) in \( \displaystyle S_4 \)

Svolgimento
Poichè vale \( \displaystyle \tau(14)(32)\tau^{-1}=(\tau(1)\tau(4))(\tau(3),\tau(2)) \) si vede subito che le uniche possibilità per tau sono
\( \displaystyle (14) \)
\( \displaystyle (32) \)
\( \displaystyle (14)(32) \)
\( \displaystyle id \)
Quindi il centralizzatore ha 4 elementi


E fin qui sembra andare tutto bene, ma se vogliamo fare una verifica con l'equazione delle classi otteniamo
\( \displaystyle |S_4(14)(32)|=\frac{|S_4|}{|C((14)(32))|} \)

notazione
\( \displaystyle S_4(14)(32)=( \tau (14)(32) \tau^{-1} | \tau \in S_4 ) \) ovvero è la classe di coniugio
\( \displaystyle C((14)(32) \) è il centralizzatore dell'elemento

Si trova (con semplici conti o più semplicemente a mano) che
\( \displaystyle S_4(14)(32)=( (14)(32),(13)(42),(12)(43))$ \)
Dunque la classe di coniugio ha 3 elementi.
Sostituendo nell'equazione delle classi verrebbe che il centralizzatore deve avere 8 elementi , cosa non vera.

[Martino]

Determinare il centralizatore di \( \displaystyle \sigma=(14)(32) \) in \( \displaystyle S_4 \)

Svolgimento
Poichè vale \( \displaystyle \tau(14)(32)\tau^{-1}=(\tau(1)\tau(4))(\tau(3),\tau(2)) \) si vede subito che le uniche possibilità per tau sono
\( \displaystyle (14) \)
\( \displaystyle (32) \)
\( \displaystyle (14)(32) \)
\( \displaystyle id \)
Quindi il centralizzatore ha 4 elementi

No attento: anche i seguenti elementi stanno nel centralizzante:

\( \displaystyle {\left({1342}\right)} \)
\( \displaystyle {\left({1243}\right)} \)
\( \displaystyle {\left({12}\right)}{\left({34}\right)} \)
\( \displaystyle {\left({13}\right)}{\left({24}\right)} \)

Il centralizzante ha ordine 8.

[alvinlee88]

Quindi il centralizzatore ha 4 elementi

Ci sono anche le quattro \( \displaystyle (13)(24)\tau \) , con le \( \displaystyle \tau \) quelle che hai detto te. Prova a spiegare perchè scegliere proprio queste (ti assicuro che per trovarle non ho fatto la verifica contereccia che tutte e 4 commutino). E ti propongo questo:
trova il centralizzatore di \( \displaystyle {\left({123}\right)}{\left({456}\right)}{\left({789}\right)}\in{S}_{{{13}}} \).

[angus89]

Anticipo dicendo che non ho colto il suggerimento, l'esercizio proprio sulla fine non è venuto (manca solo una piccola cosa)...

Prima di ragionare imposto l'equazione delle classi che deve dirmi quanti elementi deve contenere il centro

\( \displaystyle |S_{13} \cdot (123)(456)(789)|= \frac{|S_n|}{C( (123)(456)(789))} \)

Dunque si inizia con il contare gli elemti dell'orbita, per i soliti ragionamenti il tutto si riduce a contare sono gli elementi \( \displaystyle (a_1 a_2 a_3)(a_4 a_5 a_6) (a_7 a_8 a_9) \) ci sono in \( \displaystyle S_{13} \) (sono appunto il prodotto di 3 3-cicli disgiunti)

edit errore, vedi post successivo di martino

quindi abbiamo
\( \displaystyle |S_{13} \cdot (123)(456)(789)| = \binom{13}{3} \cdot \frac{3!}{3} \cdot \binom{10}{3} \cdot \frac{3!}{3} \cdot \binom{7}{3} \cdot \frac{3!}{3} \cdot \frac{1}{3}=\frac{13!}{4! \cdot 3^4} \)
La moltiplicazione per tre fattoriale è dovuta al fatto che le "triplette" sono ordinate, la divisione per tre è dovuta al fatto che non è importante il numero da cui cominciano i 3-cicli (ad esempio (123) è equivalente a (231) ),la divisione finale per tre è dovuta al fatto che i 3-cicli sono per l'appunto disgiunti dunque commutano.

In definitiva sostituendo all'equazione delle classi abbiamo che il centralizzatore ha 1944 elementi
Quali sono?

Sicuramente \( \displaystyle H=<(123),(456),(789)> \) è un sottogruppo del centralizzatore e ha ordine 18.

Inoltre c'è da considerare

\( \displaystyle \alpha_1=(14)(25)(36) \)
\( \displaystyle \alpha_2=(47)(58)(69) \)
\( \displaystyle \alpha_3=(17)(28)(39) \)

Questi vanno considerati poichè scambiano solo l'ordine dei tre tricicli \( \displaystyle (123)(456)(789) \) che essendo disgiunti equivale a non far nulla

edit errore, vedi post successivo di angus89
\( \displaystyle |<(123),(456),(789),\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3>|=54 \)
Cosa manca?
edit mancano tutte le permutazioni dei 4 elementi rimanenti. ovvero \( \displaystyle {\left\lbrace{10},{11},{12},{13}\right\rbrace} \)

[Martino]

In definitiva sostituendo all'equazione delle classi abbiamo che il centralizzatore ha 1944 elementi

A me risulta il doppio, 3888.
Infatti:

la divisione finale per tre è dovuta al fatto che i 3-cicli sono per l'appunto disgiunti dunque commutano.

Per dimenticarti dell'ordine devi dividere per \( \displaystyle {3}! \), non per 3.

Un'idea per semplificare: osserva che il centralizzante in \( \displaystyle S_{13} \) di \( \displaystyle g=(123)(456)(789) \) è isomorfo a \( \displaystyle C_{S_9}(g) \times S_4 \) .

[angus89]

@martino
E' vero ho sbagliato, avrei dovuto dividere per 3!, adesso i conti tornano anche a me

C'è comunque un errore gravissimo nel mio ragionamento: stavo trovando il centralizzatore in \( \displaystyle {S}_{{9}} \)!!!
Non ho mai considerato gli altri numeri \( \displaystyle {\left\lbrace{10},{11},{12},{13}\right\rbrace} \), cioè solo per trovare la cardinalità nell'equazione delle classi!

Infatti se si scrive l'equazione delle classi per cercare la cardinalità del centralizzatore dello stesso elemento in \( \displaystyle {S}_{{9}} \) si trova 162, quindi al gruppo H ho sbagliato a calcolare la cardinalità essa è infatti 162
(ho usato quello che avrei dovuto usare prima per calcolare la cardinalità, ovvero la cardinalità di un prodotto di gruppi è il prodotto delle cardinalità se i gruppi hanno intersezione banale)

A questo punto sulla linea del suggerimento di martino devo soltanto moltiplicare il tutto per le permutazioni che coinvolgono soltanto \( \displaystyle {\left\lbrace{10},{11},{12},{13}\right\rbrace} \), che sono appunto isomorfe a \( \displaystyle {S}_{{4}} \) che ha giusto \( \displaystyle {4}! \) elementi

\( \displaystyle {4}!\cdot{162}={3888} \)

[Martino]

Una curiosità: il centralizzante in \( \displaystyle S_n \) di un prodotto di \( \displaystyle k \) \( \displaystyle r \) -cicli disgiunti è il prodotto diretto di \( \displaystyle S_{n-kr} \) con un prodotto intrecciato \( \displaystyle C_r \wr S_k \) (e da qui si vede subito che l'ordine di tale centralizzante è \( \displaystyle (n-kr)! \cdot r^k \cdot k! \) ). La parafrasi di questo è: per centralizzare un prodotto di cicli della stessa lunghezza, dopo aver isolato gli elementi non coinvolti (da qui \( \displaystyle (n-rk)! \) ), bisogna "rimestare"* ogni singolo ciclo (da qui \( \displaystyle r^k \) ) e poi permutare i cicli (da qui \( \displaystyle k! \) ).

In realtà questo si generalizza totalmente: se una permutazione in \( \displaystyle S_n \) ha nella struttura ciclica \( \displaystyle r_i \) cicli di lunghezza \( \displaystyle i \) per ogni fissato \( \displaystyle i=1,...,n \) allora il suo centralizzante è un prodotto diretto

\( \displaystyle \prod_{i=1}^n C_i \wr S_{r_i} \)

(dove si assume convenzionalmente \( \displaystyle S_0=\{1\} \) ). In particolare il suo ordine è

\( \displaystyle \prod_{i=1}^n (i^{r_i} \cdot r_i!) \)

(ricordando che \( \displaystyle 0!=1 \) ).

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* Per "rimestare ogni singolo ciclo" intendo centralizzare ogni singolo ciclo usando il suo sottogruppo ciclico generato. Osserva infatti che il centralizzante di un \( \displaystyle {n} \)-ciclo \( \displaystyle \sigma \) in \( \displaystyle {S}_{{n}} \) è \( \displaystyle \lt\sigma\gt \) (per questo basta osservare che un elemento centralizzante è determinato dall'immagine di \( \displaystyle {1} \), e ci sono \( \displaystyle {n} \) possibili immagini di \( \displaystyle {1} \)).