[Sistemi]: Guadagno

[Ahi]

Ciao a tutti,

ho il seguente esercizio:

Data la funzione di trasferimento:

\( \displaystyle {G}{\left({s}\right)}=\frac{{s}}{{{\left({s}+{1}\right)}{\left({100}+{14}{s}+{{s}}^{{2}}\right)}}} \)

0) Ricavare i diagrammi di Bode
1) indicare il guadagno di centro banda e il guadagno statico.
2) calcolare la risposta del sistema al segnale \( \displaystyle {u}{\left({t}\right)}={10}{\sin{{t}}}{\left({3}{t}+{0.6}\right)} \)

allora

0) Questo punto non presenta problemi
1) il guadagno statico lo ricavo sostituendo \( \displaystyle {s}={0} \) se ho capito bene e quindi G (0) = 0. Ma per determinare il centro banda come devo procedere?

2) Questo punto mi è un po' oscuro, penserei che devo analizzare modulo e fase. Ma devo vedere ciò sul grafico di Bode?
La soluzione che presenta lo svolgimento e questa:

\( \displaystyle {u}{\left({t}\right)}={0.01}\cdot{10}{\sin{{\left({3}{t}+{0.6}-{0}\right)}}} \)

Perché?

Grazie.

[K.Lomax]

Esiste un teorema che dice che se dai in ingresso ad un sistema LTI con fdt \( \displaystyle G(j\omega) \) un segnale del tipo:

\( \displaystyle x(t)=A\cos(\omega_0 t+\phi) \)

l'uscita sarà del tipo

\( \displaystyle x(t)=A |G(j\omega_0)|\cos(\omega t+\phi+\angle G(j\omega_0)) \)

Per quel che riguarda il guagagno di centro banda, questo si può ricavare molto semplicemente, ma in maniera approssimata, dal diagramma di Bode. Per ottenerne un valore preciso, cerca la definizione.

[Ahi]

Esiste un teorema che dice che se dai in ingresso ad un sistema LTI con fdt \( \displaystyle G(j\omega) \) un segnale del tipo:

\( \displaystyle x(t)=A\cos(\omega_0 t+\phi) \)

l'uscita sarà del tipo

\( \displaystyle x(t)=A |G(j\omega_0)|\cos(\omega t+\phi+\angle G(j\omega_0)) \)

Per quel che riguarda il guagagno di centro banda, questo si può ricavare molto semplicemente, ma in maniera approssimata, dal diagramma di Bode. Per ottenerne un valore preciso, cerca la definizione.

Allora si ho fatto così:

\( \displaystyle {\left|{G}{\left({j}{3}\right)}\right|}=\frac{{\left|{\left({j}{3}\right)}\right|}}{{\left|{\left[{\left({j}{3}+{1}\right)}{\left({100}+{j}{3}\cdot{14}+{{\left({j}{3}\right)}}^{{2}}\right)}\right]}\right|}}={\left|{0.009}-{j}{0.001}\right|}={0.01} \)

Il problema che non mi trovo con la fase devo procedere così:

\( \displaystyle {a}{r}{c}{t}{g{{\left(\frac{{b}}{{a}}\right)}}}={a}{r}{t}{g{{\left(-\frac{{0.001}}{{0.009}}\right)}}}=-{0.11} \)

Lui si trova \( \displaystyle {0} \) che errore commetto?

[K.Lomax]

Anche io mi trovo \( \displaystyle -0,11 \) , penso proprio che sia fatto bene.

[Ahi]

Ciao a tutti,

ho il seguente esercizio:

Data la funzione di trasferimento:

\( \displaystyle {G}{\left({s}\right)}=\frac{{s}}{{{\left({s}+{1}\right)}{\left({100}+{14}{s}+{{s}}^{{2}}\right)}}} \)

0) Ricavare i diagrammi di Bode
1) indicare il guadagno di centro banda e il guadagno statico.
2) calcolare la risposta del sistema al segnale \( \displaystyle {u}{\left({t}\right)}={10}{\sin{{t}}}{\left({3}{t}+{0.6}\right)} \)

Per quanto riguarda il punto 2) se mi si chiede invece: utilizzando i diagrammi di Bode calcolare approssimativamente la risposta a regime al segnale \( \displaystyle {u}{\left({t}\right)}={10}{\cos{{\left({t}+\frac{\pi}{{2}}\right)}}}-{3}{\sin{{\left({10}{t}\right)}}} \), si procede allo stesso modo di come ho fatto precedentemente vero?

Mentre se mi si chiede

data in ingresso al sistema una sinusoide \( \displaystyle {A}{s}{e}{n}{\left(\omega{t}\right)} \) , per quale pulsazione \( \displaystyle \omega \) si ha in uscita la sinusoide \( \displaystyle {0.01}{A}{s}{e}{n}{\left(\omega{t}-\frac{\pi}{{2}}\right)} \)

devo risolvere la seguente equazione:

\( \displaystyle {\left|{G}{\left({j}\omega\right)}\right|}={0.01} \)

in funzione di \( \displaystyle \omega \), corretto? O esiste un metodo più immediato?

Grazie

[K.Lomax]

Per la prima domanda ti ricordo che essendo il sistema LTI vale il principio di sovrapposizione degli effetti e quindi stai a posto.
Per la seconda domanda, sempre per lo stesso teorema di prima, dovresti avere:

\( \displaystyle |G(j\omega)|=\frac{0.01}{A} \)

e comunque c'è anche la fase da tener conto.

[Ahi]

Per la prima domanda ti ricordo che essendo il sistema LTI vale il principio di sovrapposizione degli effetti e quindi stai a posto.
Per la seconda domanda, sempre per lo stesso teorema di prima, dovresti avere:

\( \displaystyle |G(j\omega)|=\frac{0.01}{A} \)

e comunque c'è anche la fase da tener conto.

Scusa prima non avevo riportato la \( \displaystyle {A} \) della traccia, così non ci vuole più la \( \displaystyle {A} \) a denominatore giusto? E quindi viene :

\( \displaystyle {\left|{G}{\left({j}\omega\right)}\right|}={0.01} \)

[K.Lomax]

Ok, rimane la fase da tener in conto.

[Ahi]

Devo riprendere questo post, convinto di aver fatto bene l'esercizio all'esame ho scoperto che l'ho sbagliato...infatti mi è stato chiesto utilizzando i diagrammi di bode, calcolare approssimativamente la risposta al regime al segnale \( \displaystyle {u}{\left({t}\right)}={s}{e}{n}{\left(\ldots\right)} \) Come devo fare approssimativamente attraverso i diagrammi di bode?

Grazie..

[K.Lomax]

In maniera non differente da quanto detto precedentemente. Se \( \displaystyle \omega_0 \) è la pulsazione del seno di ingresso, dai diagrammi del modulo e della fase della fdt puoi facilmente determinarne \( \displaystyle |G(j\omega_0)| \) e \( \displaystyle \angle G(j\omega_0) \)