Help Integrale con residui

[DarKprince87]

quindi il residuo in zero vale sempre zero, mentre il residuo in pigreco va calcolato con quella fastidiosissima derivata. ottimo

[gugo82]

Tutti e due i residui vanno calcolati con quella formula lì.

Ed il residuo in \( \displaystyle 0 \) non è affatto zero, come erroneamente affermava qualcun altro.
Ad esempio:

\( \displaystyle \frac{\text{d}}{\text{d} x}\left[ z^2 f(z)\right] =\frac{\text{d}}{\text{d} x}\left[ \frac{z(e^{-\jmath z}-1)}{\sin^2 z}\right] \)
\( \displaystyle =\frac{[(e^{-\jmath z}-1) -\jmath ze^{-\jmath z}]\sin^2 z -2z(e^{-\jmath z}-1)\sin z \cos z}{\sin^4 z} \)
\( \displaystyle =\frac{[(e^{-\jmath z}-1) -\jmath ze^{-\jmath z}]\sin z -2z(e^{-\jmath z}-1) \cos z}{\sin^3 z} \)

e, per \( \displaystyle z\approx 0 \) , usando gli sviluppi di Taylor opportunamente troncati hai:

\( \displaystyle \frac{\text{d}}{\text{d} x}\left[ z^2 f(z)\right] \approx \frac{[(-\jmath z + \frac{1}{2} (-\jmath z)^2) -\jmath z (1-\jmath z)] z -2z(-\jmath z)1}{z^3} \approx \frac{-\frac{1}{2}\ z^3}{z^3} \)

quindi:

\( \displaystyle \text{Res} (f(z);0) =\lim_{z\to 0}\frac{\text{d}}{\text{d} x}\left[ z^2 f(z)\right] =-\frac{1}{2} \) .

Per \( \displaystyle \pi \) devi fare gli stessi conti, più o meno.