Help Integrale con residui

[DarKprince87]

Ciao a tutti, mi dareste una mano nella risoluzione di questo integrale per favore? Non so proprio come risolverlo




grazie mille in anticipo

[gugo82]

Lo schema da seguire è:

1) classificare le singolarità della funzione integranda (in questo caso \( \displaystyle f(z):=\tfrac{e^{-\jmath z}-1}{z \sin^2 z} \) );

2) fare un disegno del contorno d'integrazione (in questo caso \( \displaystyle \partial D \) );

3) individuare le singolarità che cadono nella regione limitata delimitata dal contorno d'integrazione (regione che in questo caso è \( \displaystyle D \) );

4) applicare il teorema dei residui;

5) calcolare i residui che interessano.

Prova un po'...

[DarKprince87]

grazie, proverò con queste indicazioni. appena posso posto risultati e (spero di no) problemi

[DarKprince87]

dunque ditemi se e dove sbaglio:

1) classificare le singolarità della funzione integranda (in questo caso \( \displaystyle f(z):=\tfrac{e^{-\jmath z}-1}{z \sin^2 z} \) );

le singolarità dovrebbero essere: \( \displaystyle {z}={0} \) singolarità sia per il numeratore che per il denominatore (polo del secondo ordine??), e \( \displaystyle {z}=\pi \) solo per il denominatore (polo del primo ordine)

2) fare un disegno del contorno d'integrazione (in questo caso \( \displaystyle \partial D \) );
3) individuare le singolarità che cadono nella regione limitata delimitata dal contorno d'integrazione (regione che in questo caso è \( \displaystyle D \) );

in questo caso, trattandosi di una circonferenza il cui raggio è \( \displaystyle \pi \) e centro \( \displaystyle {\left(\frac{\pi}{{2}},{0}\right)} \) , le singolarità che considero sono proprio \( \displaystyle {z}={0};{z}=\pi \)

4) applicare il teorema dei residui;

per il teorema di residui dovrebbe essere quindi: \( \displaystyle {2}\pi{j}{\left({R}{e}{s}{\left({0}\right)}+{R}{e}{s}{\left(\pi\right)}\right.} \) ?? O sbaglio??

5) calcolare i residui che interessano.

Ci sto lavorando, ma trovo difficoltà nel calcolare il residuo in zero... potreste aiutarmi per favore? Grazie mille

[laurettas]

A me sembra che z=0 sia una singolarità eliminabile inquanto annulla sia numeratore che denominatore e il residuo è nullo.

[DarKprince87]

quindi nel teorema dei residui devo considerare solo l'altro residuo??

[gugo82]

1) classificare le singolarità della funzione integranda (in questo caso \( \displaystyle f(z):=\tfrac{e^{-\jmath z}-1}{z \sin^2 z} \) );

le singolarità dovrebbero essere: \( \displaystyle {z}={0} \) singolarità sia per il numeratore che per il denominatore (polo del secondo ordine??), e \( \displaystyle {z}=\pi \) solo per il denominatore (polo del primo ordine)

La funzione è del tipo \( \displaystyle \frac{N(z)}{D(z)} \) con \( \displaystyle N(z):=e^z -1 \) e \( \displaystyle D(z):=z\ \sin^2 z \) ; essa è definita in \( \displaystyle \mathbb{C}\setminus \{ k\pi ,\ k\in \mathbb{Z} \} \) ed ivi olomorfa (in quanto rapporto di funzioni olomorfe con denominatore non nullo).
Quindi i candidati ad essere punti di singolarità sono tutti e soli i punti del tipo \( \displaystyle k\pi \) e, ovviamente, il punto all'infinito \( \displaystyle \infty \) .

I punti del tipo \( \displaystyle k\pi \) con \( \displaystyle k\neq 0 \) sono zeri del denominatore e non zeri del numeratore, quindi tali punti sono poli per \( \displaystyle f(z) \) il cui ordine è uguale al loro ordine come zeri di \( \displaystyle D(z) \) . Visto che \( \displaystyle k\pi \) con \( \displaystyle k\neq 0 \) è zero d'ordine \( \displaystyle 1 \) del seno, esso sarà zero d'ordine \( \displaystyle 2 \) per \( \displaystyle \sin^2 z \) e, visto che il fattore \( \displaystyle z \) non si annulla in \( \displaystyle k\pi \) con \( \displaystyle k\neq 0 \) , possiamo affermare che \( \displaystyle k\pi \) con \( \displaystyle k\neq 0 \) è uno zero del secondo ordine per \( \displaystyle D(z) \) e, quindi, un polo d'ordine \( \displaystyle 2 \) per \( \displaystyle f(z) \) .
Il punto \( \displaystyle 0 \) è uno zero d'ordine \( \displaystyle 1 \) per \( \displaystyle N(z) \) e di ordine \( \displaystyle 3 \) per \( \displaystyle D(z) \) (ciò si vede sviluppando in serie di Taylor), ergo esso è un polo d'ordine \( \displaystyle 2 \) per \( \displaystyle f(z) \) .
Il punto all'infinito \( \displaystyle \infty \) è un punto di accumulazione per le singolarità di \( \displaystyle f(z) \) (infatti \( \displaystyle \lim_{k\to \pm \infty} k\pi =\infty \) ), quindi è una singolarità non classificabile.

2) fare un disegno del contorno d'integrazione (in questo caso \( \displaystyle \partial D \) );
3) individuare le singolarità che cadono nella regione limitata delimitata dal contorno d'integrazione (regione che in questo caso è \( \displaystyle D \) );

in questo caso, trattandosi di una circonferenza il cui raggio è \( \displaystyle \pi \) e centro \( \displaystyle {\left(\frac{\pi}{{2}},{0}\right)} \) , le singolarità che considero sono proprio \( \displaystyle {z}={0};{z}=\pi \)

Esatto.

4) applicare il teorema dei residui;

per il teorema di residui dovrebbe essere quindi: \( \displaystyle {2}\pi{j}{\left[{R}{e}{s}{\left({0}\right)}+{R}{e}{s}{\left(\pi\right)}\right]} \) ?? O sbaglio??

Esatto.

5) calcolare i residui che interessano.

Ci sto lavorando, ma trovo difficoltà nel calcolare il residuo in zero... potreste aiutarmi per favore? Grazie mille

I residui sono relativi a poli d'ordine \( \displaystyle 2 \) , quindi devi calcolare la derivata prima: insomma devi usare la formula:

\( \displaystyle \text{Res} (f(z);z_0):=\lim_{z\to z_0} \frac{\text{d}}{\text{d} z} \Big[ (z-z_0)^2 f(z)\Big] \) .

[DarKprince87]

gugo82 grazie dei tuoi immensi suggerimenti. Il problema che riscontro frequentemente è il non saper riconoscere le singolarità eliminabili o l'ordine dei poli.

tornando all'esercizio, il residuo che devo calcolare è quindi il limite della seguente derivata prima :


\( \displaystyle \lim_{{{z}\to\pi}}{\frac{{\text{d}}}{{{\left\lbrace{d}\right\rbrace}{z}}}}{\left[{{\left({z}-\pi\right)}}^{{2}}\cdot\frac{{{{e}}^{{-{j}{z}}}-{1}}}{{{z}{{\sin}}^{{2}}{z}}}\right]} \)

[gugo82]

A me sembra che z=0 sia una singolarità eliminabile inquanto annulla sia numeratore che denominatore e il residuo è nullo.

Ma anche no.

Ad esempio, prendiamo \( \displaystyle f(z):= \frac{1-\cos z}{z^4} \) : nel punto \( \displaystyle 0 \) sono nulli sia il numeratore che il denominatore ed il residuo in \( \displaystyle {0} \) è nullo (basta fare lo sviluppo di Laurent intorno a \( \displaystyle 0 \) ).
Tuttavia \( \displaystyle 0 \) è un polo del secondo ordine per la \( \displaystyle f(z) \) (come si vede sempre dallo sviluppo di Laurent), mica una singolarità eliminabile!

Lo stesso dicasi della funzione \( \displaystyle g(z):=\frac{\sin z}{z^3} \) , che nel punto \( \displaystyle 0 \) ha un polo d'ordine \( \displaystyle 2 \) con residuo nullo, mica una singolarità eliminabile!

[gugo82]

@Darkprince87: Sono io a dovermi scusare.

Ho trascritto male la tua funzione ed ho classificato le singolarità per un'altra funzione.
Scusa se ti ho fatto confondere.

Rimedio.
Il numeratore (che avevo sbagliato) è \( \displaystyle N(z)=e^{-\jmath z}-1 \) , che si annulla in \( \displaystyle 2h\pi \) con \( \displaystyle h\in \mathbb{Z} \) (infatti \( \displaystyle e^{-\jmath 2h\pi} =1 \) per la periodicità dell'esponenziale complesso).
Gli zeri sono di ordine \( \displaystyle 1 \) , perchè derivando si trova:

\( \displaystyle N^\prime (z)=-\jmath N(z)\ \Rightarrow \ \forall h\in \mathbb{Z},\ N(2h\pi)=-\jmath \neq 0 \) .

Quindi si ha:

- se \( \displaystyle k \) è dispari (ossia \( \displaystyle k=2h+1 \) ), allora \( \displaystyle k\pi \) è zero d'ordine \( \displaystyle 2 \) del denominatore e non è zero del numeratore, quindi è un polo d'ordine \( \displaystyle 2 \) per \( \displaystyle f(z) \) ;

- se \( \displaystyle k \) è pari (ossia \( \displaystyle k=2h \) ) e \( \displaystyle \neq 0 \) , allora \( \displaystyle k\pi \) è zero d'ordine \( \displaystyle 2 \) per il denominatore e d'ordine \( \displaystyle 1 \) per il numeratore, quindi è un polo d'ordine \( \displaystyle 1 \) per \( \displaystyle f(z) \) ;

- se \( \displaystyle k=0 \) , allora \( \displaystyle 0 \) è uno zero d'ordine \( \displaystyle 3 \) del denominatore e d'ordine \( \displaystyle 1 \) del numeratore, quindi è un polo d'ordine \( \displaystyle 2 \) per \( \displaystyle f(z) \) .

Alla fin fine, lo zero e \( \displaystyle \pi \) rimangono poli d'ordine \( \displaystyle 2 \) , ma il procedimento non era giusto.

Per quanto riguarda il calcolo del residuo, sì purtroppo devi calcolare quella schifezza lì.