Help urge Endomorfismi,conica,retta piani e circonferenza

[Xorik]

Ciao a tutti mi chiamo Alessandro e sono nuovo, per cui scusatemi se sbaglierò sicuramente qualcosa. Veniamo al dunque: oggi tra poche ore avrò l'esame e volevo il vostro aiuto su 3 esercizi che non mi vengono. Spero in un miracolo. Allore gli es sono:

1) Dato l’endomorfismo fk di R2 definito da fk(x, y) = (3x − 3y, 2x + ky) con k parametro reale
(a) per ogni valore del parametro k si determinino Kerfk e Imfk e se ne trovino base e dimensione ;
(b) posto k = −2, si determini (se esiste) un vettore non appartenente a Imf;
(c) posto k = −2, si verifichi che il corrispondente endomorfismo e’ semplice e si indichi una base di R2
rispetto alla quale tale endomorfismo ha matrice diagonale.

Nel punto a ho ridotto ed ho trovato che se k=-2 Rg(A)=dimIm=1...dimker=1 ed un vettore delker è uguale a (x,x) quindi può essere (1,1). Per quanto riguarda la base dell'Im ho preso la matrice di partenza ho sostituito k con -2 ed ho ridotto per colonne trovando così la base (3,2). Fin qui tutto giusto? Poi ho calcolato con k diverso da -2: Rg(A)=2, dimker=0. E qui il primo dubbio la base del ker può essere il vettore nullo, dato che dimker=0? Per l'immagine riprendo quella iniziale con k e riduco per colonne trovando così la base (0,k+2).

Nel punto b invece non so proprio come fare.

Nel punto c invece ovviamente sostituisco k con -2 e poi tratto la matrice come se dovessi trovare gli autovettori. Le soluzioni mi vengono k1=0 e k2=1 entrambe hanno molteplicità 1 quindi la matrice è diagonalizzabile, quindi semplice. Vado a sonstituire i valori e mi trovo i vettori (1,1) ed (3/2,1).
Questo è per quanto riguarda il primo es. Vi ringrazio tutti anticipatamente.



2)Data l’equazione y = \( \displaystyle \frac{{{x}&#{8722};{3}}}{{{2}{x}&#{8722};{1}}} \)
(a) si verifichi che rappresenta una conica e si dica di che conica si tratta ;
(b) si trovi una forma canonica per l’equazione data.

Nel punto a per verificare non ne ho la più pallida idea...mentre per sapere di ce conica si tratta ho moltiplicato y per 2x-1 sviluppando così il prodotto xy poi mi sono costruito la matrice associata (penso si chiami così) e il risultato mi è venuto -5/2 che è diverso da 0 quindi non è degenere. facendo la matrice dei termini di secondo grado il risultato è -1 che è <0 quindi è un'iperbole. Da qui ho trattato quest'ultima matrice come per diagonalizzarla e le soluzioni sono venute uguali a k1=-1 e k2=1. Sostituisco trovando gli autovettori rispettivamente (-1,1) e (1,1), li normalizzo e mi vengono i vettori (\( \displaystyle -\frac{{1}}{\sqrt{{{2}}}} \), \( \displaystyle \frac{{1}}{\sqrt{{{2}}}} \)) e (\( \displaystyle \frac{{1}}{\sqrt{{{2}}}} \)), \( \displaystyle \frac{{1}}{\sqrt{{{2}}}} \)). Dopodichè per la matrice di passaggio li devo mettere in riga o in colonna? e infine la matrice che si somma a quella di passaggio come faccio a trovarla? Per trovare poi la forma canonica???

3)(a) si determini una rappresentazione cartesiana della retta r passante per il punto P(−3,−1, 0) e
parallela all’asse y;
(b) si stabilisca se la retta r trovata in (a) e’ sottospazio vettoriale di R3 e in caso affermativo se ne
determini una base;
(c) si determini il piano che passa per la retta r trovata in (a) e che interseca la superficie sferica
S : \( \displaystyle {{\left({x}+{2}\right)}}^{{2}}+{{\left({z}+{4}\right)}}^{{2}}={9} \) in una circonferenza di raggio massimo.

QUESTO PROPRIO NON LO SO FARE.
Vi ringrazio tutti e spero che sappiate risolvere i miei dubbi perchè mi sento già col cappio al collo...Ciao e grazie ancora

[Xorik]

Ragazzi se sapete anche solo un esercizio va bene lo stesso...

[fu^2]

Ciao a tutti mi chiamo Alessandro e sono nuovo, per cui scusatemi se sbaglierò sicuramente qualcosa. Veniamo al dunque: oggi tra poche ore avrò l'esame e volevo il vostro aiuto su 3 esercizi che non mi vengono. Spero in un miracolo. Allore gli es sono:

1) Dato l’endomorfismo fk di R2 definito da fk(x, y) = (3x − 3y, 2x + ky) con k parametro reale
(a) per ogni valore del parametro k si determinino Kerfk e Imfk e se ne trovino base e dimensione ;
(b) posto k = −2, si determini (se esiste) un vettore non appartenente a Imf;
(c) posto k = −2, si verifichi che il corrispondente endomorfismo e’ semplice e si indichi una base di R2
rispetto alla quale tale endomorfismo ha matrice diagonale.

Nel punto a ho ridotto ed ho trovato che se k=-2 Rg(A)=dimIm=1...dimker=1 ed un vettore delker è uguale a (x,x) quindi può essere (1,1). Per quanto riguarda la base dell'Im ho preso la matrice di partenza ho sostituito k con -2 ed ho ridotto per colonne trovando così la base (3,2). Fin qui tutto giusto? Poi ho calcolato con k diverso da -2: Rg(A)=2, dimker=0. E qui il primo dubbio la base del ker può essere il vettore nullo, dato che dimker=0? Per l'immagine riprendo quella iniziale con k e riduco per colonne trovando così la base (0,k+2).

a occhio mi pare vada, non ho fatto i conti...

se \( \displaystyle \dim{k}{e}{r}{f{{k}}}={0} \) vuol dire che c'è solo il vettore nullo, cioè è uno spazio vettoriale che contiene solo il vettore \( \displaystyle {\left({0},{0}\right)} \). Se il ker ha dimensione zero, l'immagine ha dimensione 2, quindi devi avere due vettori che fanno da base, per esempio le due colonne della matrice...

Nel punto b invece non so proprio come fare.

se l'immagine ha base (3,2), un vettore che nn sta nell'immagine non è un multiplo scalare di questo vettore, cioè non sta in questo sottospaziovettoriale, quindi...

Nel punto c invece ovviamente sostituisco k con -2 e poi tratto la matrice come se dovessi trovare gli autovettori. Le soluzioni mi vengono k1=0 e k2=1 entrambe hanno molteplicità 1 quindi la matrice è diagonalizzabile, quindi semplice. Vado a sonstituire i valori e mi trovo i vettori (1,1) ed (3/2,1).
Questo è per quanto riguarda il primo es. Vi ringrazio tutti anticipatamente.

esatto. (a meno di vedere i conti che non ho fatto)

2)Data l’equazione y = \( \displaystyle \frac{{{x}&#{8722};{3}}}{{{2}{x}&#{8722};{1}}} \)
(a) si verifichi che rappresenta una conica e si dica di che conica si tratta ;
(b) si trovi una forma canonica per l’equazione data.

Nel punto a per verificare non ne ho la più pallida idea...mentre per sapere di ce conica si tratta ho moltiplicato y per 2x-1 sviluppando così il prodotto xy poi mi sono costruito la matrice associata (penso si chiami così) e il risultato mi è venuto -5/2 che è diverso da 0 quindi non è degenere. facendo la matrice dei termini di secondo grado il risultato è -1 che è <0 quindi è un'iperbole. Da qui ho trattato quest'ultima matrice come per diagonalizzarla e le soluzioni sono venute uguali a k1=-1 e k2=1. Sostituisco trovando gli autovettori rispettivamente (-1,1) e (1,1), li normalizzo e mi vengono i vettori (\( \displaystyle -\frac{{1}}{\sqrt{{{2}}}} \), \( \displaystyle \frac{{1}}{\sqrt{{{2}}}} \)) e (\( \displaystyle \frac{{1}}{\sqrt{{{2}}}} \)), \( \displaystyle \frac{{1}}{\sqrt{{{2}}}} \)). Dopodichè per la matrice di passaggio li devo mettere in riga o in colonna? e infine la matrice che si somma a quella di passaggio come faccio a trovarla? Per trovare poi la forma canonica???

per verificare che è una conica va bene sviluppare come hai fatto te e vedere poi la matrice, non vedo male in ciò...

per ridurla alla formula standard un consoglio molto diretto se hai occhio è utilizzare il completamento dei quadrati nella versione sviluppata della conica e poi fai un cambio di cordinate per sistemare le cose...

3)(a) si determini una rappresentazione cartesiana della retta r passante per il punto P(−3,−1, 0) e
parallela all’asse y;
(b) si stabilisca se la retta r trovata in (a) e’ sottospazio vettoriale di R3 e in caso affermativo se ne
determini una base;
(c) si determini il piano che passa per la retta r trovata in (a) e che interseca la superficie sferica
S : \( \displaystyle {{\left({x}+{2}\right)}}^{{2}}+{{\left({z}+{4}\right)}}^{{2}}={9} \) in una circonferenza di raggio massimo.

QUESTO PROPRIO NON LO SO FARE.
Vi ringrazio tutti e spero che sappiate risolvere i miei dubbi perchè mi sento già col cappio al collo...Ciao e grazie ancora

a) puoi prendere l'asse y (la retta \( \displaystyle {\left({0},{k},{0}\right)} \)), traslarlo lungo il vettore \( \displaystyle {P} \), ottenendo la retta \( \displaystyle {\left(-{3},-{1}+{k},{0}\right)} \). questa è la forma parametrica, da qui puoi trovare la cartesiana...
il secondo punto è di teoria (osserva dove passa)...

se hai ancora dubbi chiedi.

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due cosa (da moderatore): 1) non è troppo gradito il secondo post a distanza di un ora dal primo. Anche se non è in cima, chi vuole leggerlo lo trova comunque... Questa volta faccio finta di non vedere
2) sei invitato a usare maggiormente la scrittura in codice, se non altro per aiutare la lettura e quindi per aumentare la possibilità che qualcuno legga senza problemi il tuo post. A tal proposito puoi modificare le scritte nel post precedente.
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[Xorik]

(3.b) si stabilisca se la retta r trovata in (a) e’ sottospazio vettoriale di R3 e in caso affermativo se ne
determini una base;

Non è che potresti proprio farmi vedere i passaggi per risolvere il punto. Anche se è di teoria...perchè proprio questi sottospazi non li capisco molto.

Inoltre cortesemente non è che potresti farmi anche vedere i passaggi per trovare la forma canonica(ovviamente del 2 esercizio)? Ovviamente già ti ringrazio con tanto di cappello...

Per il post non era da incavolato era solo per dire a tutti che non era necessario risolvere tutto. Se sembrava in tono maleducato mi scuso con tutti coloro che hanno letto e leggeranno.

[fu^2]

per il secondo guarda la retta in che punto passa, Scrivi la definizione di spazio/sottospazio vettoriale e scoprirai (se vuoi fallo qui sul forum). Devi semplicemente accertarti che la definizione di spazio vettoriale sia o non sia soddisfatta.

Per il terzo prima che ti dica altro, dimmi come lo imposteresti.
Potresti considerare il fascio di piani passanti per la retta che hai trovato e selezionare quello che passa per l'equatore della sfera, prova a farlo, posta i conti e vediamo dove e se trovi difficoltà.

[Xorik]

Il punto è che proprio non so che pesci pigliare per trovare la forma canonica del 2.2, e non capisco proprio cosa devo fare nel 3.2 per vedere se la retta trovata è sottospazio di R^3...e l'esame è tra 1 ora...non ce la farò mai a capire!!!

[fu^2]

beh se non sai la dafinizione... per cominciare guarda se passa per l'origine, esso è necessario per vedere se è un sottospazio vettoriale.

Non pensi che sia un pò tardi per risolvere gli ultimi dubbi l'ora prima dell'esame?