Hermite

[yader]

Salve a tutti, devo svolgere questo esercizio e:
Trovare P(x) che soddisfi le seguenti condizioni (di Hermite): p(0)=-1 , p'(1)=14 , p''(2)=40 , p(1)=5 e dire se il polinomio trovato è unico.

Prima di procedere con i calcoli volevo sapere se il grado del polinomio è 4.
Inoltre, in base alle condizioni date dal testo il sistema da risolvere è il seguente:
\( \displaystyle {\left.\matrix{{e}=-{1}\\{4}{a}+{3}{b}+{2}{c}+{d}={14}\\{24}{a}+{6}{b}+{c}={20}\\{a}+{b}+{c}+{d}={6}}\right.} \)

[dissonance]

Sei sicuro che nella traccia non fosse specificato il grado di \( \displaystyle {P} \)? Comunque, facci caso: 4 condizioni individuano univocamente un polinomio di grado 3. In generale, \( \displaystyle {n}+{1} \) condizioni individuano univocamente un polinomio di grado \( \displaystyle {n} \). Per esempio, quando hai studiato i polinomi di interpolazione, hai mai notato che si prendono sempre \( \displaystyle {n}+{1} \) nodi per avere un polinomio di grado \( \displaystyle {n} \)?

[yader]

Si ho notato tutte queste cose...Innanzitutto il grado del polinomio non è specificato...Poi mi sono basato sulla regola per formulare il polinomio generico:
"Il grado del polinomio è il numero di nodi meno + il numero di derivate in \( \displaystyle {x}_{{0}} \) + il numero di derivate in \( \displaystyle {x}_{{1}} \) +....+ il numero di derivate in \( \displaystyle {x}_{{n}} \)" . Secondo me questa regola è giusta ma ambigua, nel senso sono da escludere quei nodi x per i quali si ha solo il valore della derivata (nel nostro caso per il nodo 2 si ha solo il valore della derivata seconda)...
Così rifacendo i calcoli il grado del polinomio è 3 , perchè i nodi sono 2; 2-1 come dice la regola per i nodi + le due derivate...Otteniamo così quindi 1+1+1=3....

Penso che la spiegazione sia questa....Correggetemi se sbaglio

[dissonance]

MMMh che confusione... Non è meglio parlare di "numero di condizioni"? Prendi un polinomio generico di grado al più \( \displaystyle {n} \):

\( \displaystyle {a}_{{0}}+{a}_{{1}}{x}+{a}_{{2}}{{x}}^{{2}}+\ldots+{a}_{{n}}{{x}}^{{n}} \)

l'individuazione di questo polinomio richiede la determinazione di \( \displaystyle {n}+{1} \) parametri: \( \displaystyle {a}_{{0}},{a}_{{1}},\ldots,{a}_{{n}} \). Ma supponi di avere una equazione lineare che lega tra loro i coefficienti:

\( \displaystyle \lambda_{{0}}{a}_{{0}}+\ldots+\lambda_{{n}}{a}_{{n}}={b} \)

se almeno uno tra i \( \displaystyle \lambda_{{j}} \) non è nullo (il che vuol dire che la tua equazione ha qualche utilità e non si riduce a \( \displaystyle {0}={0} \) o, peggio, a un cosa inconsistente come \( \displaystyle {0}={1} \)) allora si può esprimere il corrispondente \( \displaystyle {a}_{{j}} \) in funzione degli altri:

\( \displaystyle {a}_{{j}}=-\frac{\lambda_{{0}}}{{\lambda_{{j}}}}{a}_{{0}}-\ldots-\frac{{\lambda_{{n}}}}{{\lambda_{{j}}}}{a}_{{n}}+{b} \).

Adesso, per determinare il polinomio, restano solo \( \displaystyle {n} \) parametri liberi. Ogni condizione aggiuntiva, a patto che sia indipendente dalle precedenti e sia consistente, fa scendere di \( \displaystyle {1} \) il numero di parametri liberi: in particolare, se le condizioni indipendenti e consistenti sono \( \displaystyle {n}+{1} \) il polinomio è univocamente determinato.

Se le condizioni sono di meno, il polinomio che le verifica non sarà unico; se invece sono di più, il polinomio potrebbe non esistere neanche.

Esempi:

Cerchiamo i polinomi \( \displaystyle {P}_{{2}}{\left({x}\right)}={a}_{{0}}+{a}_{{1}}{x}+{a}_{{2}}{{x}}^{{2}} \) tale che \( \displaystyle {P}_{{2}}{\left({0}\right)}={P}_{{2}}{\left({1}\right)}={0} \). Imponendo queste condizioni si ottiene il sistema

\( \displaystyle {\left\lbrace\matrix{{a}_{{0}}={0}\\{a}_{{0}}+{a}_{{1}}+{a}_{{2}}={0}}\right.} \)

da cui il polinomio cercato non è unico: per ogni scelta di \( \displaystyle {a}\in\mathbb{R} \), il \( \displaystyle {P}_{{2}}{\left({x}\right)}={a}{x}-{a}{{x}}^{{2}} \) verifica le condizioni volute.

Ora imponiamo che sia \( \displaystyle {P}_{{2}}{\left({0}\right)}={P}_{{2}}{\left({1}\right)}={P}_{{2}}{\left({2}\right)}={P}_{{2}}{\left({3}\right)}={0} \). E' chiaro che il polinomio \( \displaystyle {P}_{{2}}{\left({x}\right)}={0} \) è l'unica soluzione del problema. Ma è stato un caso fortunato: cambiando l'ultima condizione in \( \displaystyle {P}_{{2}}{\left({3}\right)}={1} \), si ottiene un sistema incompatibile, ovvero non ci sono polinomi \( \displaystyle {P}_{{2}} \) che le soddisfino.

[yader]

Ok grazie 1000 per la chiara spiegazione