How many zeroes ? -B

How many solutions has the equation $e^z+3z^2=0$ in $|z| <1$?
Camillo

Camillo
Moderatore globale

Messaggio: 5936 di 6751
Iscritto il: 31/08/2002, 22:06
Località: Milano -Italy

Re: How many zeroes ? -B

Camillo ha scritto:How many solutions has the equation $e^z+3z^2=0$ in $|z| <1$?

Many months ago, my professor of complex analisys said me the following question:

"How many solutions has the equation $e^z+az^n =0$ in $|z|<1$, with the condition that $a\in \RR$ and $a>1$?"

That was during my exam of complex analisys, after she asked me the Rouché's Theorem...

For now, i won't to give a solution to the original question, i have already analized this other problem few moments ago!

post575081.html

Hi! See you later!
<<Se mettessero qualche fonte più precisa e su base corretta [...], allora sarebbe un bel programma. Ma che citano ed intervistino ad cazzum ogni umano che si sveglia la mattina, non è paragone di serietà.>>
Hamming_burst su un programma televisivo di (dubbia) divulgazione scientifica.

Zero87

Messaggio: 386 di 2152
Iscritto il: 13/01/2008, 00:05
Località: Marche

Re: How many zeroes ? -B

Camillo ha scritto:How many solutions has the equation $e^z+3z^2=0$ in $|z| <1$?

I have corrected my proof in the other question too (post575081.html).

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
So, in this equation, let $f(z)=3z^2$ and $g(z)=P(z)-f(z)=e^z$.
In $|z|=1$ we have $|f(z)|=3|z|^2=3$ and $|g(z)|=e^{Re(z)} cos(Re(z)) \le e^{Re(z)} \le e$. $^(1)$
So we can conclude, for Rouche's theorem, that $P(z)$ have the same number of zeroes of $f(z)$ in the domain $|z|<1$: $P(z)$ has 2 zeroes in the unit disk.

$^(1)$We have to give a motivation about the last inequality.
Let $z\in \CC$: we can write $z=Re(z)+i$ $Im(Z)$ in which $Re(z)$ is the real part of $z$ and $Im(z)$ is the imaginary part of the considered complex number.
We have $|z|^2=(Re(z))^2+(Im(z))^2$ so $(Re(z))^2=|z|^2-(Im(z))^2 \ge 0$ so $Re(z)= +- \sqrt{|z|^2-(Im(z))^2}$.
Now, if we take the positive solution, we have $e^(Re(z))\le e^|z| = e <3$; if we take the negative solution, we know that $e^x<1$ if $x<0$ so the result is correct in both cases.
<<Se mettessero qualche fonte più precisa e su base corretta [...], allora sarebbe un bel programma. Ma che citano ed intervistino ad cazzum ogni umano che si sveglia la mattina, non è paragone di serietà.>>
Hamming_burst su un programma televisivo di (dubbia) divulgazione scientifica.

Zero87

Messaggio: 390 di 2152
Iscritto il: 13/01/2008, 00:05
Località: Marche

OUT OF SELF TO Zero87

Zero87 ha scritto:...i won't to give...
It's stronger than me: "io" in English is "I" and not "i"!
Ultima modifica di j18eos il 01/11/2011, 16:42, modificato 1 volta in totale.
"Dì a quei lazzaroni dei miei studenti che li voglio bene come se fossero figli miei!"
Prof.a ed avv.a Nicla Fiore sul letto di morte rivolta alla sorella... e indirettamente a me.

Pauca sed matura (Gauss)

Semplicemente Armando.

j18eos
Cannot live without

Messaggio: 2837 di 4011
Iscritto il: 12/06/2010, 16:27
Località: Trieste ma sempre Napoli nel cuore!

Re:

j18eos ha scritto:It's more strong of me: "io" in English is "I" and not "i"!

Thank you.
<<Se mettessero qualche fonte più precisa e su base corretta [...], allora sarebbe un bel programma. Ma che citano ed intervistino ad cazzum ogni umano che si sveglia la mattina, non è paragone di serietà.>>
Hamming_burst su un programma televisivo di (dubbia) divulgazione scientifica.

Zero87

Messaggio: 398 di 2152
Iscritto il: 13/01/2008, 00:05
Località: Marche

I comparativi!

j18eos ha scritto:It's more strong of me:

"... stronger than..."
"Immaginate un bravo matematico come qualcuno che ha preso dal tenente Colombo per le doti investigative, da Baudelaire per l’ispirazione, dal montatore Faussone per il rigore e l’amore per “le cose ben fatte”, da Ulisse per la curiosità, l’ardimento e l’insaziabilità di conoscenza." (AC)

Paolo90
Moderatore

Messaggio: 3034 di 3875
Iscritto il: 06/08/2005, 15:34
Località: Trieste

Thank you Paolo90, I thought it that there was a grammatical error!
"Dì a quei lazzaroni dei miei studenti che li voglio bene come se fossero figli miei!"
Prof.a ed avv.a Nicla Fiore sul letto di morte rivolta alla sorella... e indirettamente a me.

Pauca sed matura (Gauss)

Semplicemente Armando.

j18eos
Cannot live without

Messaggio: 2840 di 4011
Iscritto il: 12/06/2010, 16:27
Località: Trieste ma sempre Napoli nel cuore!

Re: How many zeroes ? -B

Camillo ha scritto:How many solutions has the equation $e^z+3z^2=0$ in $|z| <1$?

The equation has zero solutions, hasn't it?
Roxie
Starting Member

Messaggio: 6 di 32
Iscritto il: 05/01/2012, 11:21

Roxie ha scritto:
Camillo ha scritto:How many solutions has the equation $e^z+3z^2=0$ in $|z| <1$?

The equation has zero solutions, hasn't it?

The equation has no solutions, but in the Real line, not in the Complex field...
<<Se mettessero qualche fonte più precisa e su base corretta [...], allora sarebbe un bel programma. Ma che citano ed intervistino ad cazzum ogni umano che si sveglia la mattina, non è paragone di serietà.>>
Hamming_burst su un programma televisivo di (dubbia) divulgazione scientifica.

Zero87

Messaggio: 435 di 2152
Iscritto il: 13/01/2008, 00:05
Località: Marche

Re: How many zeroes ? -B

Yeah, you're right... I hadn't thought about it, maybe because I haven't studied the complex field yet!!
Roxie
Starting Member

Messaggio: 10 di 32
Iscritto il: 05/01/2012, 11:21

Torna a The English Corner

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 0 ospiti