I numeri primi gemelli

[Nekao]

Vorrei sottoporvi una riflessione sui numeri primi cosidetti "gemelli". Vi sono delle coppie di numeri primi, 5-7, 11-13, etc che mostrano una curiosa (a mio parere) proprietà. La loro somma è un multiplo di 12. Anni fa, ho lavorato sul problema della distribuzione dei numeri primi nell'insieme dei numeri naturali e mi sono posto il seguente problema: dimostrare che se p è un numero primo, la somma p + (p - 2) o la somma p + (p + 2) è un multiplo di 12. Questo significherebbe che i numeri primi si 'attaccano' alla retta y=12n n -> N. Quindi al tendere di n all'infinito essi si rarefanno ma non si allontanano da questa retta. Il mio intento era di dimostrare che un numero p >= 5 è primo se e solo se una delle somme di cui sopra rappresenta il punto di ascissa n di quella retta. Naturalmente non ho concluso nulla, e questo per due motivi entrambi plausibili. 1) Non sono capace 2) L'asserzione è falsa. Ci vogliamo pensare insieme?

[jack]

come idea non è male...solo che non si sa se le coppie di primi gemelli sono infinite...quindi mi pare un po' azzardato suppore il "solo se"...

[Pachito]

<blockquote id="quote"><font size="1" face="Verdana, Arial, Helvetica" id="quote">quote:<hr height="1" noshade id="quote"><i>Originally posted by Nekao</i>

Dimostrare che se p è un numero primo, la somma p + (p - 2) o la somma p + (p + 2) è un multiplo di 12.<hr height="1" noshade id="quote"></font id="quote"></blockquote id="quote">
Se p è primo (>5) allora è dispari. 2p è ovviamente divisibile per 2 e se sommo o sottraggo 2 questo sarà sicuramente divisibile per 4 (perchè 2[p+-1]). Siccome su tre numeri pari consecutivi uno è divisibile per 3 e 2p non lo è allora lo sarà o 2p+2 o 2p-2.
Dunque il numero è divisibile per 12.

[EUCLA]

mi hai dato un idea per un altro problema...grazie

[Nekao]

Ovviamente il problema non è la semplice dimostrazione della divisibilità per 12, ma riuscire a dimostrare il "solo se" che è realmente l'unica cosa utile del ragionamento. Ci permetterebbe di andare a cercare i numeri primi solo tra i multipli di 12. Se parliamo di coppie di numeri 2n-1 e 2n+1 con n>3, per opportuni valori di n abbiamo numeri primi gemelli, per altri solo uno dei due è primo, per altri ancora nessuno dei due lo è. La somma dei due numeri è 4n e quindi ben a ragione ogni tre valori di n abbiamo un multiplo di 12. Mi sono chiesto se anche i numeri primi lo sanno e quindi non possono essere distribuiti a caso nell'insieme dei numeri naturali

[EUCLA]

un semplice controesempio: 119 +(119 + 2)= 240 che è ovviamente multiplo di 12, ma 119 non è primo...

[Nekao]

Mi pare che qui, in piccolo, stiamo riproducendo il mondo accademico nei suoi aspetti non certo migliori. Io non avevo alcuna pretesa di fare una congettura straordinaria, nè di dire qualcosa di rivoluzionario sui numeri primi. E' un argomento che mi ha, a suo tempo, appassionato e che volevo riproporvi per puro piacere. So benissimo che a tutt'oggi pochissimo si sa della ditribuzione dei numeri primi e che noi non risolveremo nulla a riguardo. Trovo comunque curiosa, da qui l'intento di sottoporvela, l'idea che un numero primo, tra le infinite possibilità come numero dispari di esserlo, lo sia in effetti strizzando sempre (?) un occhio ai multipli di 12. Io non ho ancora trovato un numero primo che, sommato con il dispari precedente o con il successivo, non formi un multiplo di 12. Questo è vero per tutti i numeri primi? E se si, perché? Mi sarebbe piaciuto se avessimo giocato insieme per rispondere a queste domande.