Ideale somma e isomorfismo di anelli

[mdoni]

Salve, vi pongo un paio di quesiti -probabilmente anche semplici, ma tant'è...

Nell'anello \( \displaystyle \mathbb{Z}{\left.\right.}_{{{11}}}{\left[{x}\right]} \) si considerino i polinomi:

\( \displaystyle {f{{\left({x}\right)}}}={{x}}^{{2}}+{3} \) e \( \displaystyle {g{{\left({x}\right)}}}={{x}}^{{2}}-{3}{x}+{1} \)

indicati con \( \displaystyle {I}{\left({x}\right)} \) e \( \displaystyle {J}{\left({x}\right)} \) gli ideali generati rispettivamente da \( \displaystyle {f{{\left({x}\right)}}} \) e \( \displaystyle {g{{\left({x}\right)}}} \) , si determinino l'ideale somma \( \displaystyle {I}{\left({x}\right)}+{J}{\left({x}\right)} \) e il suo generatore monico.

Quindi, dire -motivando la risposta- se sono isomorfi gli anelli:

\( \displaystyle \frac{{\mathbb{Z}{\left.\right.}_{{{11}}}{\left[{x}\right]}}}{{{I}{\left({x}\right)}}} \) e \( \displaystyle \frac{{\mathbb{Z}{\left.\right.}_{{{11}}}{\left[{x}\right]}}}{{{J}{\left({x}\right)}}} \)


Vi ringrazio per la gentilezza.

[blackbishop13]

comincia con il vedere se i polinomi sono irriducibili o meno, potresti scoprire qualcosa di utile.

[mdoni]

Dunque, f è irriducibile, così come g, poichè di II grado e senza radici nell'anello considerato (almeno credo, abbiate pietà)
Come procedere?

[blackbishop13]

perchè affermi che è senza radici?

[mdoni]

mm beh, direi perchè non esiste elemento \( \displaystyle {z}\in\mathbb{Z}{\left.\right.}_{{{11}}} \) tale che \( \displaystyle {f{{\left({z}\right)}}}\equiv{\left[{0}\right]}{\left.\right.}_{{{11}}} \) , e così pure per g.
Dove sbaglio?

[blackbishop13]

l'unico modo per trovare ste radici è mettersi lì e fare tutti i conti uno alla volta. falli!

[mdoni]

Allora, hai ragione: Soltanto f è irriducibile, mentre riducendo i coefficienti modulo 11 si ottiene per g:

\( \displaystyle {\left({{x}}^{{2}}-{3}{x}+{1}\right)}={\left({x}+{2}\right)}{\left({x}-{5}\right)} \)

Ora come procedo?