Ideali primi

[melli13]

Allora...innanzitutto vi ringrazio per avermi risposto e avermi fatto capire i miei errori...
Al primo esercizio sbagliavo perchè applicavo il teorema valido solo per i campi....cioè se in un campo F[X] ho un polinomio p(x) irriducibile allora l'ideale generato dal polinomio è massimale. E da qui deducevo le mie conclusioni....Ma siccome \( \displaystyle \mathbb{Z}{\left[{X}\right]} \) non è un campo il mio ragionamento fallisce...!
Ora ho capito il fatto che siccome \( \displaystyle \mathbb{Z}{\left[{X}\right]} \) è un UFD e il polinomio è irriducilbile allora l'ideale generato dal polinomio è primo.
Per quanto riguarda il secondo, non riesco a capire cosa implichi il fatto che \( \displaystyle {\left({{x}}^{{3}}\right)} \) sia nilpotente...non mi è ben chiara la relazione tra nilpotenza e ideali primi..xò ho capito che l'ideale non è primo per il fatto che dice Simonixx.
Per il quarto, ho seguito il suggerimento (l'unico XD) di maurer cioè che 5 è invertibile e quindi quell'ideale è uguale all'anello \( \displaystyle \mathbb{Q}{\left[{X}\right]} \) e \( \displaystyle \mathbb{Q}{\left[{X}\right]} \)/\( \displaystyle {\left({{X}}^{{3}}-{18}{X}+{12},{5}\right)} \) è allora isomorfo all'anello nullo e l'ideale non è primo.
L'ultimo lo risolverei così:
\( \displaystyle \mathbb{Z}{\left[{X}\right]} \)/\( \displaystyle {\left({{X}}^{{3}}-{18}{X}+{12},{X}-{1}\right)}\stackrel{\sim}{=}\mathbb{Z}{\left[{X}\right]} \)/\( \displaystyle {\left({X}-{1}\right)} \)/\( \displaystyle {\left({{X}}^{{3}}-{18}{X}+{12}\right)}\stackrel{\sim}{=}\mathbb{Z} \)/\( \displaystyle {\left({{1}}^{{3}}-{18}\cdot{1}+{12}\right)}\stackrel{\sim}{=}\mathbb{Z} \)/\( \displaystyle {\left(-{5}\right)} \)\( \displaystyle \stackrel{\sim}{=}\mathbb{Z}_{{5}} \) che essendo un campo è quindi anche un dominio e quindi l'ideale è primo.

[Simonixx]

Il fatto che sia nilpotente funziona in questo modo:

1. Un ideale è primo se e solo se il quoziente tra l'anello e l'ideale è un dominio ;
2. Un dominio non ha divisori dello zero ;
3. Un elemento nilpotente è un divisore dello zero ;

Ora se quozienti modulo \( \displaystyle {\left({{x}}^{{3}}\right)} \) sai che dentro quell'anello quoziente c'è \( \displaystyle {x} \). Siccome che lavori \( \displaystyle \text{mod}{{x}}^{{3}} \), sai che \( \displaystyle {{x}}^{{3}}={0} \) in quell'anello quoziente, dunque \( \displaystyle {x} \) è un elemento nilpotente che elevato alla terza potenza dà un elemento uguale a zero, essendo sè stesso diverso da zero.
A questo punto hai dimostrato che esiste un elemento nilpotente nell'anello quoziente, dunque esiste un divisore dello zero, dunque non è possibile che sia un dominio, dunque non è possibile che l'ideale sia primo.

Sostanzialmente funziona così. La parte più difficile consiste nel dimostrare l'esistenza di \( \displaystyle {x} \) nell'anello quoziente, perchè il resto sono teoremi noti e implicazioni piuttosto importanti. Non vorrei però aver sbagliato e magari \( \displaystyle {x} \) non è nel quoziente, ma siccome lo dicono gli altri nei precedenti post, mi fido di loro.