Ideali primi

[melli13]

Salve....potete aiutarmi con questi esercizi?Dire se l'ideale o primo o meno:
-\( \displaystyle {I}={\left({{X}}^{{3}}-{18}{X}+{12}\right)} \) in \( \displaystyle \mathbb{Z}{\left[{X}\right]} \)
Siccome il polinomio è irriducibile su \( \displaystyle \mathbb{Z}{\left[{X}\right]} \) posso dire che è massimale e quindi primo. Giusto?
-\( \displaystyle {I}={\left({{X}}^{{3}}-{18}{X}+{12}\right)} \) in \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{3}}{\left[{X}\right]} \)
E' giusto dire che \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{3}}{\left[{X}\right]} \)/\( \displaystyle {\left({{X}}^{{3}}\right)}\stackrel{\sim}{=}\mathbb{Z}_{{3}}\times\mathbb{Z}_{{3}}\times\mathbb{Z}_{{3}} \)? E quindi l'ideale non è primo
\( \displaystyle {I}={\left({{X}}^{{3}}-{18}{X}+{12},{5}\right)} \) in \( \displaystyle \mathbb{Z}{\left[{X}\right]} \)
\( \displaystyle \mathbb{Z}_{{5}}{\left[{X}\right]} \)/\( \displaystyle {\left({{X}}^{{3}}-{18}{X}+{12}\right)}\stackrel{\sim}{=}\mathbb{Z}_{{5}}{\left[{X}\right]} \)/\( \displaystyle {\left({X}-{1}\right)}\times\mathbb{Z}_{{5}}{\left[{X}\right]} \)/\( \displaystyle {\left({X}-{1}\right)}\times\mathbb{Z}_{{5}}{\left[{X}\right]} \)/\( \displaystyle {\left({X}+{2}\right)}\stackrel{\sim}{=}\mathbb{Z}_{{5}}\times\mathbb{Z}_{{5}}\times\mathbb{Z}_{{5}} \)
Va bene? Quindi non essendo un dominio, l'ideale non è primo.
\( \displaystyle {I}={\left({{X}}^{{3}}-{18}{X}+{12},{5}\right)} \) in \( \displaystyle \mathbb{Q}{\left[{X}\right]} \)
Qui non so proprio da dovere iniziare....
\( \displaystyle {I}={\left({{X}}^{{3}}-{18}{X}+{12},{X}-{1}\right)} \) in \( \displaystyle \mathbb{Z}{\left[{X}\right]} \)
\( \displaystyle \mathbb{Z}_{{{X}}} \)/\( \displaystyle {\left({{X}}^{{3}}-{18}{X}+{12},{X}-{1}\right)}\stackrel{\sim}{=}\mathbb{Z}_{{5}}{\left[{X}\right]} \)/\( \displaystyle {\left({X}-{1}\right)} \)/\( \displaystyle {\left({{X}}^{{3}}-{18}{X}+{12}\right)}\stackrel{\sim}{=}\mathbb{Z} \)/\( \displaystyle {\left({{X}}^{{3}}-{18}{X}+{12}\right)} \) ma ciò è assurdo no..?
Grazie per l'aiuto che mi date....

[EnderWiggins]

Potresti per cortesia riscrivere gli ultimi tre casi, perché credo che ti sia scappato qualche errore di battitura e non si capisce molto..
Quanto al primo la tua riflessione è corretta, mentre nel secondo devi specificare che operazioni definisci su \(\mathbb{Z}_3\times\mathbb{Z}_3\times\mathbb{Z}_3\). Da quello che hai scritto, tu affermi che \(\mathbb{Z}_3[X]/(X^3)\) è isomorfo a \(\mathbb{Z}_3\times\mathbb{Z}_3\times\mathbb{Z}_3\) come anello (altrimenti non puoi concludere), quindi l'isomorfismo non deve solo essere una biezione, ma anche preservare le operazioni.
In ogni caso puoi concludere più semplicemente trovando due divisori dello zero, pensaci!
Ender

[Martino]

Quanto al primo la tua riflessione è corretta

Dire se l'ideale o primo o meno:
-\( \displaystyle {I}={\left({{X}}^{{3}}-{18}{X}+{12}\right)} \) in \( \displaystyle \mathbb{Z}{\left[{X}\right]} \)
Siccome il polinomio è irriducibile su \( \displaystyle \mathbb{Z}{\left[{X}\right]} \) posso dire che è massimale e quindi primo. Giusto?

No, questa riflessione non è corretta: per esempio \( \displaystyle J_p := (x^3-18x+12,p) \) contiene propriamente \( \displaystyle I \) per ogni primo \( \displaystyle p \) (e per la cronaca \( \displaystyle J_p \) è massimale se e solo se \( \displaystyle x^3-18x+12 \) è irriducibile modulo \( \displaystyle p \) , per esempio \( \displaystyle J_7 \) è massimale).

Un ragionamento per dimostrare che \( \displaystyle I \) è primo è il seguente: \( \displaystyle \mathbb{Z}[X]/I \) si immerge canonicamente in \( \displaystyle \mathbb{Q}[X]/I \mathbb{Q}[X] \) , che è un campo.

melli13, la tua idea non va bene perché \( \displaystyle \mathbb{Z}[X] \) non è un PID (in generale se \( \displaystyle A \) è un anello commutativo unitario allora \( \displaystyle A[X] \) è un PID se e solo se \( \displaystyle A \) è un campo: prova a dimostrarlo, non è difficile). Vedi qui. In particolare osserva che se \( \displaystyle I \) è un ideale massimale di \( \displaystyle \mathbb{Z}[X] \) allora \( \displaystyle \mathbb{Z}[X]/I \) è un campo finito.

[EnderWiggins]

Chiedo venia, Martino ha ragione. Non ho letto con la dovuta attenzione il primo caso e sono incappato in un errore di distrazione imperdonabile.
Mi permetto però di approfittare dell'occasione per rilanciare lo spunto di Martino:

In particolare osserva che se \( \displaystyle {I} \) è un ideale massimale di \( \displaystyle {\mathbb{{{Z}}}}{\left[{X}\right]} \) allora \(\mathbb{Z}[X]/I\) è un campo finito.

Enunciato: Sia \( \displaystyle {R} \) una \( \displaystyle {\mathbb{{{Z}}}} \)-algebra finitamente generata. Mostrare che se \( \displaystyle {\mathbf{{{m}}}}\subset{R} \) è un ideale massimale, allora \(R/\mathbf{m}\) è un campo finito.

[Simonixx]

Ma \( \displaystyle {Z}{\left[{x}\right]} \) non è a fattorizzazione unica?(poichè lo è \( \displaystyle {Z} \)) Quindi in teoria in un UFD io ho che

\( \displaystyle {a} \) irriducibile se e solo se \( \displaystyle {\left({a}\right)} \) è ideale primo

e in un UFD irriducibile se e solo se è primo.

correggetemi se sbaglio...

[maurer]

In ogni caso, non è vero che \( \displaystyle \mathbb Z_3 [X] / (X^3) \cong \mathbb Z_3 \times \mathbb Z_3 \times \mathbb Z_3 \) come anello! In questo caso si sottointende che sul membro a destra ci sia la struttura di prodotto diretto di anelli, altrimenti è caldamente consigliabile non usare tale notazione. In questo caso, allora l'isomorfismo non può esistere perché \( \displaystyle \mathbb Z_3[X] / (X^3) \) è un anello locale, mentre l'altro ha tre ideali massimali (il funtore \( \displaystyle \text{Spec} \) trasforma prodotti diretti in unioni disgiunte, per chi ama questo linguaggio...)

@Simonixx: sì, hai ragione. E in questo caso basta Eisenstein a concludere.

[EnderWiggins]

E' il motivo per cui sono incappato nell'errore, non ho letto bene il post e dunque il mio cervello ha completato come voleva..
Effettivamente un ideale principale (non nullo) è primo se e solo se è generato da un elemento primo e in un UFD ogni elemento primo è irriducibile e viceversa.
\( \displaystyle {\mathbb{{{Z}}}}{\left[{X}\right]} \) è un UFD e dunque l'ideale è primo, per il ragionamento di cui sopra. Il guaio è che Melli13 conclude invece che \( \displaystyle {I} \) è massimale e dunque primo, il che è errato.

[Simonixx]

Penso che lo stesso ragionamento sia fattibile, più semplicemente, per \( \displaystyle {Z}_{{3}}{\left[{x}\right]} \).
Sicuramente è un campo poichè lo è \( \displaystyle {Z}_{{3}} \). Dunque è un PID.
\( \displaystyle {{x}}^{{3}} \) è riducibile, dunque l'ideale da lui generato non può essere primo.
(visto che PID è "più forte" di UFD, e PID implica UFD)

p.s.: adorabili metodi di Maurer, ahahah

p.p.s.: quell'isomorfismo non dovrebbe essere valido, poichè se è vero che \( \displaystyle {\left({{x}}^{{3}}\right)}={\left({x}\cdot{x}\cdot{x}\right)} \) è anche vero che se voglio scomporre in un prodotto diretto di anelli, il teorema cinese del resto ce lo vieta, poichè possiamo farlo solo se gli ideali sono coprimi fra loro... ovvero se generano l'1. A prima vista non mi pare...
Ma non mi ricordo bene questa parte di programma, quindi potrei sbagliare.

[maurer]

Sì vabbeh, ma non complichiamoci troppo la vita, per favore! XD Io ho spiegato perché quell'isomorfismo non può esistere, ma per risolvere l'esercizio, basta osservare che \( \displaystyle X \) è nilpotente in \( \displaystyle \mathbb Z_3[X]/(X^3) \) !

[maurer]

Finiamo l'esercizio...

\( \displaystyle {I}={\left({{X}}^{{3}}-{18}{X}+{12},{5}\right)} \) in \( \displaystyle \mathbb{Z}{\left[{X}\right]} \)
\( \displaystyle \mathbb{Z}_{{5}}{\left[{X}\right]} \)/\( \displaystyle {\left({{X}}^{{3}}-{18}{X}+{12}\right)}\stackrel{\sim}{=}\mathbb{Z}_{{5}}{\left[{X}\right]} \)/\( \displaystyle {\left({X}-{1}\right)}\times\mathbb{Z}_{{5}}{\left[{X}\right]} \)/\( \displaystyle {\left({X}-{1}\right)}\times\mathbb{Z}_{{5}}{\left[{X}\right]} \)/\( \displaystyle {\left({X}+{2}\right)}\stackrel{\sim}{=}\mathbb{Z}_{{5}}\times\mathbb{Z}_{{5}}\times\mathbb{Z}_{{5}} \)
Va bene? Quindi non essendo un dominio, l'ideale non è primo.

Sì, è giusto questa volta, per il Teorema Cinese dei Resti. Io consiglierei di scrivere sempre la giustificazione, anche quando è ovvia. Insegna a non barare con se stessi!

\( \displaystyle {I}={\left({{X}}^{{3}}-{18}{X}+{12},{5}\right)} \) in \( \displaystyle \mathbb{Q}{\left[{X}\right]} \)
Qui non so proprio da dovere iniziare....

Rifletti... ci sono almeno due strade naturali che conducono alla soluzione:
1) \( \displaystyle 5 \) è invertibile in \( \displaystyle \mathbb Q \) ...
2) \( \displaystyle \mathbb Q[X] \) è un dominio euclideo, quindi un PID e sappiamo pure calcolare il generatore di un ideale formato da un numero finito di elementi...

\( \displaystyle {I}={\left({{X}}^{{3}}-{18}{X}+{12},{X}-{1}\right)} \) in \( \displaystyle \mathbb{Z}{\left[{X}\right]} \)
\( \displaystyle \mathbb{Z}_{{{X}}} \)/\( \displaystyle {\left({{X}}^{{3}}-{18}{X}+{12},{X}-{1}\right)}\stackrel{\sim}{=}\mathbb{Z}_{{5}}{\left[{X}\right]} \)/\( \displaystyle {\left({X}-{1}\right)} \)/\( \displaystyle {\left({{X}}^{{3}}-{18}{X}+{12}\right)}\stackrel{\sim}{=}\mathbb{Z} \)/\( \displaystyle {\left({{X}}^{{3}}-{18}{X}+{12}\right)} \) ma ciò è assurdo no..?
Grazie per l'aiuto che mi date....

Quello che hai scritto non ha senso... da dove lo tiri fuori, per esempio, \( \displaystyle \mathbb Z_5 \) ? La cosa più rapida, essendo \( \displaystyle \mathbb Z[X] \) un UFD è calcolare il gcd dei due polinomi... siccome sono monici, puoi far finta di calcolarlo in \( \displaystyle \mathbb Q[X] \) ed automaticamente hai già la certezza teorica che avrà coefficienti in \( \displaystyle \mathbb Z \) ...