ideali radicali e ideali primi

[balestrav]

Salve, avrei bisogno di una mano.
Sia A un anello non nullo, provare che un ideale I di A è radicale se e solo se è intersezione di ideali primi.
Allora,se è intersezione di primi allora è radicale (ok), ma non riesco a fare il viceversa. Se sapessi che I ammette una decomposizione primaria allora sarebbe facile, ma in generale questo non è vero. Come si potrebbe procedere? Grazie

[Martino]

Andando a quoziente ti riduci a mostrare che l'intersezione degli ideali primi coincide col nilradicale.

Questo è un risultato che dovresti conoscere. Si dimostra considerando gli ideali primi del localizzato \( \displaystyle A_f \) , dove \( \displaystyle f \) è un elemento non nilpotente di \( \displaystyle A \) . Siccome \( \displaystyle A_f \neq 0 \) (perché \( \displaystyle f \) non è nilpotente) questo localizzato ammette ideali massimali (qui serve il lemma di Zorn), che corrispondono ad ideali primi di \( \displaystyle A \) non contenenti \( \displaystyle f \) (fine).

[balestrav]

Scusa, ma non ho capito.. Ci sono sul fatto che il nilradicale è l'intersezione di tutti i primi, ma non capisco la connessione col fatto che un ideale radicale sia intersezione di primi..

[Martino]

Pensa al teorema di corrispondenza per gli ideali: l'intersezione degli ideali primi contenenti un ideale \( \displaystyle I \) corrisponde all'intersezione degli ideali primi di \( \displaystyle A/I \) , quindi è uguale a \( \displaystyle \sqrt{I} \) .

[balestrav]

ok, grazie!