Identità Bezòut Polinomi

[angus89]

allora...il procedimento che hai usato non so quanto vada bene...
L'algoritmo euclideo devi usarlo sull'anello in cui ti trovi ovvero sei su \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{5}} \), te mi pare hai fatto la divisione su \( \displaystyle \mathbb{R} \).
Io non so come li svolgete in genere questi calcoli, io ad esempio proverei questa strada qui.

abbiamo visto che \( \displaystyle {{x}}^{{5}}+{4}{x}+{1} \) è equivalente (su quell'anello) a \( \displaystyle {3}{{x}}^{{2}}+{3}{x}+{2} \), quindi trovare l'inverso dell'uno equivale a trovare l'inverso dell'altro.
Prendiamo il polinomio di grado più basso \( \displaystyle {3}{{x}}^{{2}}+{3}{x}+{2} \), quindi dobbiamo trovare un altro polinomio che moltiplicato per questo dia \( \displaystyle {{x}}^{{3}}+{3}{x}+{2} \) (il polinomio per il quale abbiamo quozientato.
Per le varie osservazioni tale polinomio probabilmente è di primo grado (il prodotto di due polinomi di grado m e n è un polinomio di grado m+n)
Quindi imponi
\( \displaystyle {\left({3}{{x}}^{{2}}+{3}{x}+{2}\right)}{\left({a}{x}+{b}\right)}={{x}}^{{3}}+{3}{x}+{2} \)
Svolgi i calcoli, e trova \( \displaystyle {a} \) e \( \displaystyle {b} \)...ricarda sempre che i coefficienti dei polinomi sono in \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{5}} \), quindi fai attenzione, e non devono uscire frazioni...

[Paolo90]

Un metodo alternativo di lavoro è il seguente.

Vogliamo studiare l'anello quoziente \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{5}}{\left[{x}\right]}\//{\left({{x}}^{{3}}+{3}{x}+{2}\right)} \).
Prima osservazione: il polinomio è irriducibile, per cui il quoziente è un campo e quindi, automaticamente, anche un dominio.

In particolare, ogni laterale non nullo ammette inverso. Indichiamo per brevità \( \displaystyle {\mathcal{{I}}}\:={\left({{x}}^{{3}}+{3}{x}+{2}\right)} \) e prendiamo ad esempio il laterale \( \displaystyle {{x}}^{{5}}+{4}{x}+{1}+{\mathcal{{I}}} \). Esattamente come i numeri in \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{n}} \), anche i polinomi hanno i loro rappresentanti buoni: quali sono? Tutti i polinomio che possono essere ottenuti come resto nella divisione per il polinomio generatore dell'ideale, i.e. tutti i polinomi di grado inferiore al generatore. Quindi non ha senso tenerci un mostro di quinto grado: sappiamo che esso starà nella stessa classe individuata dal resto della divisione di questo polinomio per il generatore.

Quindi, effettuiamo la divisione e troviamo: \( \displaystyle {{x}}^{{5}}+{4}{x}+{1}={\left({{x}}^{{2}}-{3}\right)}{\left({{x}}^{{3}}+{3}{x}+{2}\right)}+{3}{{x}}^{{2}}+{3}{x}+{2} \). In definitiva, scrivere \( \displaystyle {{x}}^{{5}}+{4}{x}+{1}+{\mathcal{{I}}} \) o \( \displaystyle {3}{{x}}^{{2}}+{3}{x}+{2}+{\mathcal{{I}}} \) è la stessa cosa: i laterali sono gli stessi (chissà perchè: non è difficile vederlo... )

Lavoriamo allora sul laterale \( \displaystyle {3}{{x}}^{{2}}+{3}{x}+{2}+{\mathcal{{I}}} \). Adesso, dividiamo il generatore di \( \displaystyle {\mathcal{{I}}} \) per \( \displaystyle {3}{{x}}^{{2}}+{3}{x}+{2} \). Troviamo al primo colpo resto \( \displaystyle {1} \) (come ci aspettavamo, i polinomi devono essere primi tra loro: uno è irriducibile!) e scriviamo l'identità di Bézout:

\( \displaystyle {1}={{x}}^{{3}}+{3}{x}+{2}+{\left({3}{{x}}^{{2}}+{3}{x}+{2}\right)}{\left(-{2}{x}-{3}\right)} \)

Possiamo allora felicemente concludere che \( \displaystyle -{\left({2}{x}+{3}\right)}+{\mathcal{{I}}} \) è l'inverso cercato. Invito il lettore a ragionare sul perchè accade questo (anche qui non è difficile convincersene).

Vogliamo una sicurezza? Prendiamo i due laterali e moltiplichiamoli: \( \displaystyle {\left[{3}{{x}}^{{2}}+{3}{x}+{2}+{\mathcal{{I}}}\right]}{\left[-{\left({2}{x}+{3}\right)}+{\mathcal{{I}}}\right]}={\left[{3}{{x}}^{{2}}+{3}{x}+{2}\right]}{\left[-{2}{x}-{3}\right]}+{\mathcal{{I}}}={4}{{x}}^{{3}}+{2}{x}+{4}+{\mathcal{{I}}} \). Che laterale è questo? Riduciamolo di nuovo, sapendo che sta nella stessa classe individuata dal suo resto nella divisione per \( \displaystyle {{x}}^{{3}}+{3}{x}+{2} \): ma quanto vale questo resto? Miracolosamente \( \displaystyle {1} \).

E abbiamo finito, trovando l'inverso che volevamo.

Ad maiora.