Identità Bezòut Polinomi

[AttraversamiIlCuore]

Salve a tutti!
Prima di scrivere ho provato ad effettuare una ricerca nel forum ma non ho trovato nulla che mi tornasse utile...
La mia domanda riguarda l' identità di Bezòut sui polinomi.
Per quanto riguarda gli interi, ho ben compreso l'algoritmo euclideo (delle divisioni successive) e tutti i passaggi iterativi per arrivare all'identità di Bezòut.
Mentre per i polinomi ho qualche dubbio...
Vi posto un esempio :

\( \displaystyle {M}{C}{D}{\left({{x}}^{{2}}+{2}{x}+{2},{{x}}^{{3}}+{2}{x}-{1}\right)}\ \text{ in }\ \mathbb{Z}_{{3}} \)
\( \displaystyle {{x}}^{{3}}+{2}{x}-{1}={\left({{x}}^{{2}}+{2}{x}+{2}\right)}{\left({x}+{1}\right)}+{x} \)
\( \displaystyle {{x}}^{{2}}+{2}{x}+{2}={x}{\left({x}+{2}\right)}+{2} \)

Quindi il MCD trovato è 2. E fino qui ci siamo.
Ora non capisco questo passaggio :

\( \displaystyle {2}={\left({{x}}^{{2}}+{2}{x}+{2}\right)}{\left({2}{x}\right)}+{\left({{x}}^{{3}}+{2}{x}-{1}\right)}{\left(-{x}-{2}\right)} \)

Allora, che l'identità di Bezout serva per esprimere l' MCD come combinazione dei due polinomi, ci sono.
Ma che passaggi si fanno per trovare \( \displaystyle {\left({2}{x}\right)} \) e \( \displaystyle {\left(-{x}-{2}\right)} \) ?

Io avevo pensato, partendo dall'ultimo passaggio di "isolare" il 2, e abbiamo che :

\( \displaystyle {2}={\left({{x}}^{{2}}+{2}{x}+{2}\right)}+{x}{\left(-{x}-{2}\right)} \)

Ma in questo modo non l'ho espresso come combinazione dei due polinomi iniziali... come si procede?
Sicuramente sarà un passaggio banale... ma si sa, io mi perdo sempre sulle cose più stupide!!
Vi ringrazio anticipatamente... e buon anno a tutti
Mario

[Paolo90]

Ciao Mario.

\( \displaystyle {M}{C}{D}{\left({{x}}^{{2}}+{2}{x}+{2},{{x}}^{{3}}+{2}{x}-{1}\right)}\ \text{ in }\ \mathbb{Z}_{{3}} \)
\( \displaystyle {{x}}^{{3}}+{2}{x}-{1}={\left({{x}}^{{2}}+{2}{x}+{2}\right)}{\left({x}+{1}\right)}+{x} \)
\( \displaystyle {{x}}^{{2}}+{2}{x}+{2}={x}{\left({x}+{2}\right)}+{2} \)

Quindi il MCD trovato è 2. E fino qui ci siamo.
Ora non capisco questo passaggio :

\( \displaystyle {2}={\left({{x}}^{{2}}+{2}{x}+{2}\right)}{\left({2}{x}\right)}+{\left({{x}}^{{3}}+{2}{x}-{1}\right)}{\left(-{x}-{2}\right)} \)

Allora, che l'identità di Bezout serva per esprimere l' MCD come combinazione dei due polinomi, ci sono.
Ma che passaggi si fanno per trovare \( \displaystyle {\left({2}{x}\right)} \) e \( \displaystyle {\left(-{x}-{2}\right)} \) ?

Io avevo pensato, partendo dall'ultimo passaggio di "isolare" il 2, e abbiamo che :

\( \displaystyle {2}={\left({{x}}^{{2}}+{2}{x}+{2}\right)}+{x}{\left(-{x}-{2}\right)} \)

Ma in questo modo non l'ho espresso come combinazione dei due polinomi iniziali... come si procede?

Sì, hai capito il trucco, non ti devi solo fermare; ricavati dalla prima riga \( \displaystyle {x} \) e poi lo sostiuisci in \( \displaystyle {2}={\left({{x}}^{{2}}+{2}{x}+{2}\right)}+ \) \( \displaystyle \boxed{\( \displaystyle \)x\( \displaystyle \)} \) \( \displaystyle {\left(-{x}-{2}\right)} \) solo al posto della \( \displaystyle {x} \) che ti ho riquadrato. Se fai un po' di conti, ottieni proprio il Bézout che cercavi.

Se hai ancora dubbi siamo qui. Ad maiora.

P.S. Ti faccio notare solo una cosa: se chiami \( \displaystyle {\mathbb{{K}}}{\left[{x}\right]} \) l'anello dei polinomi a coefficienti in \( \displaystyle {\mathbb{{K}}} \) (campo), allora per due polinomi avere \( \displaystyle {2} \) o una qualsiasi altra costante \( \displaystyle {k}\in{\mathbb{{K}}}-{\left\lbrace{0}\right\rbrace} \) come MCD è la stessa cosa; questo perchè le costanti sono tutti e soli gli elementi invertibili dell'anello; quindi, puoi concludere che i due polinomi sono coprimi e - se dividi i due membri dell'identità di Bezout per \( \displaystyle {2} \) - ecco che riesci ad esprimere \( \displaystyle {1} \) come combinazione lineare dei due polinomi.

Non so se questo ti poteva interessare; spero di sì, in caso contrario ignora tutto e... tanti auguri per un felice 2010!

[AttraversamiIlCuore]

Ciao Paolo! Intanto grazie per la risposta e per la pazienza!!! Grazie mille!!
E pensare che avevo ipotizzato proprio questa soluzione, ma vedendo che usciva un "mostro" ho pensato fosse impossibile... mannaggia a me e la mia pigrizia nei calcoli !!!
Ora sto provando :

\( \displaystyle {{x}}^{{3}}+{2}{x}-{1}={\left({{x}}^{{2}}+{2}{x}+{2}\right)}{\left({x}+{1}\right)}+{x} \)
\( \displaystyle {x}={\left({{x}}^{{3}}+{2}{x}-{1}\right)}-{\left({{x}}^{{2}}+{2}{x}+{2}\right)}{\left({x}+{1}\right)} \)

Vado a sostituire

\( \displaystyle {{x}}^{{2}}+{2}{x}+{2}={x}{\left({x}+{2}\right)}+{2} \)
\( \displaystyle {2}={\left({{x}}^{{2}}+{2}{x}+{2}\right)}+{x}{\left(-{x}-{2}\right)} \)
\( \displaystyle {2}={\left({{x}}^{{2}}+{2}{x}+{2}\right)}+{\left[{\left({{x}}^{{3}}+{2}{x}-{1}\right)}-{\left({{x}}^{{2}}+{2}{x}+{2}\right)}{\left({x}+{1}\right)}\right]}{\left(-{x}-{2}\right)} \)
\( \displaystyle {2}={\left({{x}}^{{2}}+{2}{x}+{2}\right)}+{\left({{x}}^{{3}}+{2}{x}-{1}\right)}{\left(-{x}-{2}\right)}-{\left({{x}}^{{2}}+{2}{x}+{2}\right)}{\left({x}+{1}\right)}{\left(-{x}-{2}\right)} \)

E ora qual'è il passaggio migliore per sbrigarmela... "magicamente" un fattore è apparso (evviva!!!)
Se provo

\( \displaystyle {2}={\left({{x}}^{{2}}+{2}{x}+{2}\right)}+{\left({{x}}^{{3}}+{2}{x}-{1}\right)}{\left(-{x}-{2}\right)}-{\left({{x}}^{{2}}+{2}{x}+{2}\right)}{\left({{x}}^{{2}}-{3}{x}-{2}\right)} \)

Ora posso mettere in evidenza :S?
Purtroppo nei conti mi perdo

.S. Ti faccio notare solo una cosa: se chiami [x] l'anello dei polinomi a coefficienti in  (campo), allora per due polinomi avere 2 o una qualsiasi altra costante k∈-{0} come MCD è la stessa cosa; questo perchè le costanti sono tutti e soli gli elementi invertibili dell'anello; quindi, puoi concludere che i due polinomi sono coprimi e - se dividi i due membri dell'identità di Bezout per 2 - ecco che riesci ad esprimere 1 come combinazione lineare dei due polinomi.

Esatto! Questo è il passo finale... ma prima mi interessava capire come arrivare!!
Intanto ti ringrazio molto per la tua disponibilità! E sono molto contento di aver cominciato a sciogliere questo ultimo dubbio che mi era rimasto...grazie!!
Sai.. a gennaio (ormai eccolo!!) mi tocca l'ultimo esonero e mi mancava solo questo piccolo dettaglio... sono contento!!
Ah poi un piccolo consiglio... quando lavoro in un campo Zp e lavoro con i MCD, secondo te mi conviene riportare tutto mod p? Nel senso... ad esempio io qui ho -1, -2... lavorando in Z3 io me li sarei riportati a 2 e 1... almeno cosi lavoro per i fattori irriducibili!!! Qui non so se mi convenga...
Grazie ancora!! A buon rendere... e buon 2010 anche a te!!!

[Paolo90]

Ciao Paolo! Intanto grazie per la risposta e per la pazienza!!! Grazie mille!!

Ma figurati, è un piacere.

\( \displaystyle {2}={\left({{x}}^{{2}}+{2}{x}+{2}\right)}+{\left({{x}}^{{3}}+{2}{x}-{1}\right)}{\left(-{x}-{2}\right)}-{\left({{x}}^{{2}}+{2}{x}+{2}\right)}{\left({{x}}^{{2}}-{3}{x}-{2}\right)} \)
Ora posso mettere in evidenza :S?
Purtroppo nei conti mi perdo

Sì, devi mettere in evidenza in modo da ottenere una espressione del tipo \( \displaystyle {a}{\left({x}\right)}\cdot\ \text{ qualcosa }\ +{b}{\left({x}\right)}\cdot\ \text{ qualcos'altro }\ \) dove \( \displaystyle {a}{\left({x}\right)} \) e \( \displaystyle {b}{\left({x}\right)} \) sono i polinomi di partenza.

Ah poi un piccolo consiglio... quando lavoro in un campo \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{p}} \) e lavoro con i MCD, secondo te mi conviene riportare tutto mod p? Nel senso... ad esempio io qui ho -1, -2... lavorando in \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{3}} \) io me li sarei riportati a 2 e 1... almeno cosi lavoro per i fattori irriducibili!!! Qui non so se mi convenga...

Che io sappia alla fine è sempre conveniente e opportuno passare ai rappresentanti buoni, quando si lavora in qualche \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{n}} \): spesso, per altro, i conti si semplificano abbastanza...

Buono studio e buona permanenza nel foro.
Se hai bisogno siamo qui.

[AttraversamiIlCuore]

Ci sono riuscito!!!!!!!!
Grazie mille!!! Sono davvero felice!!!
Una piccola cosa (scusate il rompimento!)..
A me come risultato viene

\( \displaystyle {2}={\left({{x}}^{{2}}+{2}{x}+{2}\right)}{{x}}^{{2}}+{\left({{x}}^{{3}}+{2}{x}+{2}\right)}{\left({2}{x}+{1}\right)} \)
E svolgendo i calcoli ottengo effettivamente 2.

Riprendendo però quello dell'esercizio svolto :

\( \displaystyle {2}={\left({{x}}^{{2}}+{2}{x}+{2}\right)}{\left({2}{x}\right)}+{\left({{x}}^{{3}}+{2}{x}-{1}\right)}{\left(-{x}-{2}\right)} \)
Che portandolo ai rappresentanti "buoni" e svolgendo i calcoli viene un polinomio (e non 2)...
Possibile sia sbagliato il testo?
Grazie ancora per la disponibilità!!!

[AttraversamiIlCuore]

Ciao ragazzi!!! Intanto buon anno a tutti!
Allora, riscrivo su questo post per non aprirne un secondo (tanto l'argomento è il medesimo) riguardo ad alcuni dubbi...
Intanto ho ancora dubbi sulla soluzione dell'esercizio svolto (ma quello l'ho scritto nel post precedente), e ne ho trovato addirittura un secondo "sbagliato"... possibile ci siano tutti questi errori? :S

Ma veniamo al dubbio di oggi...
L'esercizio dice

Studiare l'anello \( \displaystyle \frac{\mathbb{Z}_{{5}}}{{{{x}}^{{3}}+{3}{x}+{2}}} \)

L'anello è un campo perchè il polinomio è irriducibile (3°grado senza soluzioni) e quindi ogni elemento è invertibile oltre ad essere un dominio di integrità.
Ora mi chiede di verificare che la classe \( \displaystyle {{x}}^{{5}}+{4}{x}+{1} \) sia invertibile e in caso calcolarne l'inversa.
La classe non è nulla in quanto dividendo per \( \displaystyle {\left({{x}}^{{3}}+{3}{x}+{2}\right)} \) non ottengo un resto congruo a 0 mod 5.
Quindi comincio a fare l'algoritmo delle divisioni successive per l'identità di Bezout, se non fosse che al secondo passaggio mi tornano numeri frazionari...come mi comporto?
Vi posto i conti (che ho controllato con derive) :

\( \displaystyle {\left({{x}}^{{5}}+{4}{x}+{1}\right)}={\left({{x}}^{{3}}+{3}{x}+{2}\right)}{\left({{x}}^{{2}}+{2}\right)}+{\left({3}{{x}}^{{2}}+{3}{x}+{2}\right)} \)
\( \displaystyle {\left({{x}}^{{3}}+{3}{x}+{2}\right)}={\left({3}{{x}}^{{2}}+{3}{x}+{2}\right)}{\left(\frac{{1}}{{3}}{x}+\frac{{14}}{{3}}\right)}+{\left(\frac{{10}}{{3}}{x}+\frac{{8}}{{3}}\right)} \)
\( \displaystyle {\left({3}{{x}}^{{2}}+{3}{x}+{2}\right)}={\left(\frac{{10}}{{3}}{x}+\frac{{8}}{{3}}\right)}{\left(\frac{{9}}{{10}}{x}+\frac{{9}}{{50}}\right)}+{\left(\frac{{38}}{{25}}\right)} \)

Io avevo pensato di moltiplicare tutto per 3 (elemento invertibile) al secondo passaggio.. però poi mi scombinava tutto...
Come si procede in questi casi?
Il libro mi propone un'altra soluzione :

Lui dice che la classe \( \displaystyle {\left({{x}}^{{5}}+{4}{x}+{1}\right)} \) è equivalente alla \( \displaystyle {\left({3}{{x}}^{{2}}+{3}{x}+{2}\right)} \) (ma come fa a dirlo? come se la ricava? io l'ho trovata nei resti, ma non credo che ciò equivalga a dire che sia uguale) e quindi l'inversa è \( \displaystyle {3}{x}+{2} \) (credo lo ricavi sempre con l'algoritmo euclideo).
Vi ringrazio per la pazienza e per la disponibilità!!!

[angus89]

Lui dice che la classe \( \displaystyle {\left({{x}}^{{5}}+{4}{x}+{1}\right)} \) è equivalente alla \( \displaystyle {\left({3}{{x}}^{{2}}+{3}{x}+{2}\right)} \) (ma come fa a dirlo? come se la ricava?

Esattamente come hai fatto tu

\( \displaystyle {\left({{x}}^{{5}}+{4}{x}+{1}\right)}={\left({{x}}^{{3}}+{3}{x}+{2}\right)}{\left({{x}}^{{2}}+{2}\right)}+{\left({3}{{x}}^{{2}}+{3}{x}+{2}\right)} \)

Hai studiato le congruenze sugli interi? Sui polinomi sono uguali!
Due elementi sono uguali sul quell'anello se diviso per il polinimio di partenza \( \displaystyle {{x}}^{{3}}+{3}{x}+{2} \) danno lo stesso resto.
Il resto di tale divisione è un polinomio, quindi


\( \displaystyle (x^5+4x+1)=(x^3+3x+2)(x^2+2)+(3x^2+3x+2) \longrightarrow x^5+4x+1 \equiv 3x^2+3x+2 \mod{x^3+3x+2} \)

Lui dice che la classe \( \displaystyle {\left({{x}}^{{5}}+{4}{x}+{1}\right)} \) è equivalente alla \( \displaystyle {\left({3}{{x}}^{{2}}+{3}{x}+{2}\right)} \) (ma come fa a dirlo? come se la ricava? io l'ho trovata nei resti, ma non credo che ciò equivalga a dire che sia uguale) e quindi l'inversa è \( \displaystyle {3}{x}+{2} \) (credo lo ricavi sempre con l'algoritmo euclideo).

Dunque si ricava proprio così e dire che i resti sono uguali per definizione vuol dire che le classi sono uguali, e il resto lo fa proprio con l'algoritmo euclideo

Prova a rispondere alla seguente domanda: quando due classi sono uguali?
In anelli più semplici
in \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{6}} \) moltiplicativo ad esempio \( \displaystyle {\left[{2}\right]}={\left[{4}\right]} \) (la classe di 2 è uguale alla classe di 4), questo cosa vuol dire?

Lo stesso ragionamento vale per i polinomi

[AttraversamiIlCuore]

Grazie, sei stato molto gentile! Mi hai chiarito un pò di dubbi...
Invece per quanto riguarda i numeri frazionari? Come faccio a lavorarci in \( \displaystyle {Z}_{{p}} \)?
Grazie mille ancora

[angus89]

Cosa intendi per numeri frazionari?non ci sono frazioni in \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{p}} \).
In \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{P}} \) gli unici elementi sono {0,1,2,3,4,...,p-1}
ad esempio in \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{7}} \) gli elementi sono {0,1,2,3,4,5,6}
Quello che potresti intendere con numeri frazionari è \( \displaystyle \frac{{a}}{{b}} \) inteso come \( \displaystyle {a}{{b}}^{{-{{1}}}} \) (a moltiplicato l'inverso di b) in tal caso devi trovare l'inverso di \( \displaystyle {b} \), facendo a tenzione che se sei in uno \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{n}} \) tale inverso potrebbe non esistere.

[AttraversamiIlCuore]

Si lo so che in \( \displaystyle {Z}_{{p}} \) ci sono solo gli elementi {0,1,2,3,4,...,p-1} per questo mi sono trovato in difficolta..
Io mi riferivo all'esercizio sopra postato (di determinare l'inversa), che svolgendo normali procedimenti (algoritmo euclideo) mi ritrovavo numeri fratti per svolgere la divisione...
Grazie ancora per la disponibilità!